高中数学试题

已知函数.
（1）设函数求的极值.
（2）证明：在上为增函数。

已知点分别是椭圆的左、右焦点, 点在椭圆上上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）设直线若、均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.

设函数
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围.

已知椭圆：，直线交椭圆于两点.
（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及长轴长；
（Ⅱ）求以线段为直径的圆的方程.

已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）记函数的最小值为，求证：.

已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于点，.
（Ⅰ）若（点在第一象限），求直线的方程；
（Ⅱ）求证：为定值（点为坐标原点）.

已知函数.
（1）当时，的图象在点处的切线平行于直线，求的值；
（2）当时，在点处有极值，为坐标原点，若三点共线，求的值.

如图，已知四边形与均为正方形，平面平面.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小.

已知函数，．
（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

已知函数且的图象经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）设，用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减；
（3）解不等式：．

已知数列的前项和为满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.

已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求使恒成立的实数的取值范围．

已知椭圆C：的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的
对称点为A₁．求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

已知且，函数，，记
（1）求函数的定义域及其零点；
（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.