高中数学合情推理和演绎推理填空题

挪威数学家阿贝尔曾经根据阶梯形图形的两种不同分割（如下图），利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：

a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃＋…＋a_nb_n＝L₁(b₁－b₂)＋L₂(b₂－b₃)＋L₃(b₃－b₄)＋…＋L_n－1(b_n－1－b_n)＋L_nb_n，其中L₁＝a₁，则
（Ⅰ）L₃＝           ；
（Ⅱ）L_n＝                 ．

把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．

设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．若，则      ．

现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个变长都是a的正方形，其中一个正方形的某起点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中某一个正方体的某顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体的重叠部分的体积恒为＿＿＿

两点等分单位圆时，有相应正确关系为；三点等分单位圆时，有相应正确关系为。由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为         

如图的倒三角形数阵满足：⑴第1行的个数，分别是1，3，5，…，；⑵ 从第二行起，各行
中的每一个数都等于它肩上的两数之和；⑶数阵共有行．问：当时，第32行的第17个数是             ；

给出问题：已知满足，试判定的形状.某学生的解答如下：
解：（i）由余弦定理可得，
，
，
,
故是直角三角形.
（ii）设外接圆半径为.由正弦定理可得，原式等价于
，
故是等腰三角形.
综上可知，是等腰直角三角形.
请问：该学生的解答是否正确？若正确，请在下面横线中写出解题过程中主要用到的思想方法；若不正确，请在下面横线中写出你认为本题正确的结果.　　   　　　　　.

观察下列等式：，，，…，
根据上述规律，第五个等式为_____________。

如图的倒三角形数阵满足：⑴ 第1行的个数，分别是1，3，5，…，；⑵ 从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；⑶ 数阵共有行．问：当时，第32行的第17个数是                 ；

观察下列式子：,
…,根据以上式子可以猜想：____▲_____;

已知等边三角形ABC的高为，它的内切圆半径为，则，由此类比得：已知正四面体的高为H，它的内切球半径为，则     ．

对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必
定包含于，则称为平面上的凸集。给出平面上4个
点集的图形如右(阴影区域及其边界)，其中为凸集的是
           (写出其中所有凸集相应图形的序号)

设函数 $f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}(x>0)$,观察:
$f_1\left(x\right)=f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}$

$f_2\left(x\right)=f\left(f_1\right(x\left)\right)=\frac{x}{3x+4}$

$f_3\left(x\right)=f\left(f_2\right(x\left)\right)=\frac{x}{7x+8}$

$f_4\left(x\right)=f\left(f_3\right(x\left)\right)=\frac{x}{15x+16}$

根据以上事实，由归纳推理可得：
当 $n\in N^{+}$且 $n\ge 2$时， $f_n\left(x\right)=f\left(f_{n-1}\right(x\left)\right)=$.

对于实数x、y，定义新运算x_*y=ax+by+1，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.若3_*5=15，4_*7=28，则1_*1=_________.

在等比数列{a_n}中，若a₁₀＝0，则有等式
a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋a₂＋…＋a_19－n(n<19，n∈N^*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b_n}中，若b₉＝1，则等式______________成立                

对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：
2²＝1＋3　 3²＝1＋3＋5　　　4²＝1＋3＋5＋7
2³＝3＋5　 3³＝7＋9＋11　　 4³＝13＋15＋17＋19
根据上述分解规律，则5²＝__________________；
若m³(m∈N^*)的分解中最小的数是21，则m的值为______