高中数学空间向量的应用解答题

已知正方体，是底对角线的交点，求证：

（1）∥面；
（2）⊥面．

如图：已知正六边形边长为1，把四边形沿着向上翻折成一个立体图形．

（1）求证：；
（2）若时，求二面角的正切值．

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．

（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V_F﹣ABCD；
（2）求证：平面AFC⊥平面CBF；
（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．

如图，三棱柱的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A₁B₁的中点．

（1）求证：B₁C//平面AC₁M；
（2）求证：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．

等边三角形的边长为3，点分别是边上的点，且满足（如图1）．将沿DE折起到的位置，使二面角为直二面角，连结、（如图2）．

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．

（1）证明：平面；
（2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离．

如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面．

（1）若，是的中点．证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，试求的值．

如图，在四棱锥中，底面为菱形且，为中点．

（1）若，求证：平面平面；
（2）若，且四棱锥的体积为1，试求二面角的大小．

如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是、、的中点，计算：

（1）；
（2）的长；
（3）异面直线与所成角的余弦值．

如图，直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且.分别为的中点.

（1）求证：； 
（2）求二面角的余弦值.

如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．

（Ⅰ）若，求证:无论点P在DD₁上如何移动，总有BP⊥MN；
（Ⅱ）棱DD₁上是否存在这样的点P，使得平面APC₁⊥平面A₁ACC₁？证明你的结论．

如图（1）示，在梯形中，，，且，如图（2）沿将四边形折起，使得平面与平面垂直，为的中点．

（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求点D到平面BCE的距离。

如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点．

（1）若，求证：平面平面；
（2）设点是线段上的一点，，且平面．
（1）求实数的值；
（2）若，且平面平面，求二面角的大小．

和的中点，求：

（1）
（2）

如图，在正方体的棱长为，为棱上的一动点．

（1）若为棱的中点，
①求四棱锥的体积  
②求证：面面
（2）若面，求证：为棱的中点．