高中数学空间向量的应用解答题

（本小题满分12分）
如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^CD，PA = 1， PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．

（Ⅰ）求证：PA^平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，平面，M，N分别为AB，SB的中点.

（1）求证：
（2）求二面角的余弦值.

（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ) 若点是的中点，求证：平面；
（II）试问点在线段上什么位置时，二面角的余弦值为.

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。

（1）若AA₁=2，求证：；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值.

如图多面体PQABCD由各棱长均为2的正四面体和正四棱锥拼接而成

(Ⅰ)证明PQ⊥BC；
(Ⅱ)若M为棱CQ上的点且,  
求的取值范围，使得二面角P-AD-M为钝二面角。

（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，点是的中点．

⑴求证：平面；
⑵求证：平面平面；
⑶若，求三棱锥的体积．

（本小题满分14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到DA₁EF的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小。

（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．

（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，
，是线段上的点，是线段上的点，且

（Ⅰ）当时，证明平面；
（Ⅱ）是否存在实数，使异面直线与所成的角为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

（本小题共14分）
如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=，AP=，PC=.

（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求证BE⊥DP;
（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求该多面体的体积.

如图，四边形ABCD中，为正三角形，，，AC与BD交于O点．将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内．

（Ⅰ）求证：平面PBD；
（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.

（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知，M为A₁B与AB_１的交点，N为棱B₁C₁的中点

（１）  求证：MN∥平面AA_１C_１C
（２）  若AC＝AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC

三棱锥中, 是的中点,

（I）求证：；
（II）若，且二面角为,求与面所成角的正弦值。

（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，.

（I）求证：平面平面；
（II）求二面角的余弦值．

（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形，且， M是A₁B₁的中点，

（1）求证：平面ABC；
（2）求二面角A₁—BB1—C的余弦值。