高中数学空间向量的应用解答题

(本小题满分12分)
已知是矩形，平面，，，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角．

如图，在长方体中，分别是的中点，分
的中点，

（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅲ）求三棱锥的体积。

（本小题共14分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，⊥底面.

(1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值。

（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点．

（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC

(本小题满分12分)   
如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且， ，是线段上一动点．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）试确定点的位置，使得平面；
（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．

如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）
 
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.

（Ⅰ）试证：CD平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.

（本小题满分12分）
如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^CD，PA = 1， PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．

（Ⅰ）求证：PA^平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D－AC－E的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，平面，M，N分别为AB，SB的中点.

（1）求证：
（2）求二面角的余弦值.

（本小题满分14分）
如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ) 若点是的中点，求证：平面；
（II）试问点在线段上什么位置时，二面角的余弦值为.

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。

（1）若AA₁=2，求证：；
（2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值.

如图多面体PQABCD由各棱长均为2的正四面体和正四棱锥拼接而成

(Ⅰ)证明PQ⊥BC；
(Ⅱ)若M为棱CQ上的点且,  
求的取值范围，使得二面角P-AD-M为钝二面角。

（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，点是的中点．

⑴求证：平面；
⑵求证：平面平面；
⑶若，求三棱锥的体积．

（本小题满分14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到DA₁EF的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小。

（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．

（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．