高中数学空间向量的应用解答题

（本小题满分9分）
如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点.

（1）求证AC⊥BC₁
（2）求证AC₁∥平面CDB₁

如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，⊥，⊥，，为中点．

(1) 求证：平面PDC平面PAD；
(2) 求证：BE∥平面PAD；
（3）求二面角的余弦值.

（本小题满分12分）
如图，是直角梯形，又，
，直线与直线所成的角为．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；

在四棱锥中，，，平面，为 的中点，．

(1)求四棱锥的体积；
(2)若为的中点，求证：平面平面；
(3)求二面角的大小．

（本题12分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.

（1）求证：面；
（2）求证：；

(本小题满分14分)
如图：四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF;
（Ⅲ）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°                  

（本小题满分16分）
如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁，A₁A的中点．

（1）求的长；
（2）求的值；
（3）求证：A₁B⊥C₁M．

如图5，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点是的中点．

（1）求证：//平面；
（2）若四面体的体积为，求的长．

如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，
（1）求证：面；

（2）求证：面

（本题共10分）
将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，

，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．

(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；

如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当且时，求AE与平面PDB所成的角的正切值.

已知四棱锥P-ABCD的直观图（如图(1)）及左视图（如图(2)），底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB。
(1)求证：AD⊥PB；
(2)求异面直线PD与AB所成角的余弦值；
(3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小.

如图，矩形中，，，为上的点，且，AC、BD交于点G.

（1）求证：；
（2）求证；；
（3）求三棱锥的体积.

（本小题满分12分）如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，

，，，平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；                       
（Ⅲ）若是的中点，求三棱锥的体积．

在四棱锥中，底面，,,,
,是的中点．
（1）  证明：；
（2）  证明：平面；
（3）  求二面角的余弦值．