高中数学平面解析几何的产生──数与形的结合试题

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆：（），其左、右焦点分别为、，且、、成等比数列．
（1）求的值．
（2）若椭圆的上顶点、右顶点分别为、，求证：．
（3）若为椭圆上的任意一点，是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．

（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）
设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点）与抛物线交于点(异于).
（1）      若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；
（2）      若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
（3）      对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.

（本小题满分12分）
已知点和直线，作垂足为Q，且
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点C的直线m与点P的轨迹交于两点点，若的面积为，求直线的方程.

（本小题满分14分）
椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为。
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若
为直角三角形，求直线的斜率。

(本小题满分13分)
过圆上一点A(4，6)作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P关于点D(9，0)的对称点为E，O为坐标原点，将线段OP绕原点O依逆时针方向旋转90°后，所得线段为OF，求|EF|的取值范围.

正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率是                                  （）
A.                   B.
C.                   D.

在极坐标系中，圆C：关于直线l：对称的充要条件是                                                                   （）

A．k＝1

B．k＝－1

C．k＝±1

D．k＝0

(本小题满分13分)
已知动点P到直线的距离比它到点F的距离大.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P的轨迹上不存在两点关于直线l：对称，求实数的取值范围.

如图，F是定直线l外的一个定点，C是l上的动点，有下列结论：若以C为圆心，CF为半径的圆与l交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆

C过F的切线交于点P和点Q，则P、Q必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上.
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；
（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：
“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，
则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请
问：此命题是否正确？试证明你的判断；
（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并
证明其真假.（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为评分依据）

已知两点，点为坐标平面内的动点，且满足.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点的直线斜率为，且与曲线相交于点、，若、两点只在第二象限内运动，线段的垂直平分线交轴于点，求点横坐标的取值范围.

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该双曲线的离心率为          .

求圆上的点到直线的距离的最小值和最大值．

已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使得是到的距离与的等比中项？