(本题满分16分;第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题6分)
设、
为坐标平面
上的点,直线
(
为坐标原点)与抛物线
交于点
(异于
).
(1) 若对任意,点
在抛物线
上,试问当
为何值时,点
在某一圆上,并求出该圆方程
;
(2) 若点在椭圆
上,试问:点
能否在某一双曲线上,若能,求出该双曲线方程,若不能,说明理由;
(3) 对(1)中点所在圆方程
,设
、
是圆
上两点,且满足
,试问:是否存在一个定圆
,使直线
恒与圆
相切.
(本小题满分14分)
椭圆:
的离心率为
,长
轴端点与短轴端点间的距离为
。
(I)求椭圆的方程;
(II)设过点的直线
与椭圆
交于
两点,
为坐标原点,若
为直角三角形,求直线的斜率。
(本小题满分14分)
已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。
(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P。证明:为定值。
(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知椭圆:
(
),其左、右焦点分别为
、
,且
、
、
成等比数列.
(1)求的值.
(2)若椭圆的上顶点、右顶点分别为
、
,求证:
.
(3)若为椭圆
上的任意一点,是否存在过点
、
的直线
,使
与
轴的交点
满足
?若存在,求直线
的斜率
;若不存在,请说明理由.
(本小题满分13分)
已知动点P到直线的距离比它到点F
的距离大
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若点P的轨迹上不存在两点关于直线l:对称,求实数
的取值范围.
已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,短轴端点分别为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形
(I)求椭圆的方程;
(II)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足,连结CM交椭圆于P,证明
为定值(O为坐标原点);
(III)在(II)的条件下,试问在x轴上是否存在异于点C的定点Q,使以线段MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出Q的坐标,若不存在,说明理由
(本小题满分12分)
已知点和直线
,作
垂足为Q,且
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点C的直线m与点P的轨迹交于两点点
,若
的面积为
,求直线
的方
程.
和
的极坐标方程分别为
.
(Ⅰ)把
和
的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)求经过
交点的直线的直角坐标方程.
(本小题满分13分)
过圆上一点A(4,6)作圆的一条动弦AB,点P为弦AB的中点.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设点P关于点D(9,0)的对称点为E,O为坐标原点,将线段OP绕原点O依逆时针方向旋转90°后,所得线段为OF,求|EF|的取值范围.
已知平面上两定点C(1,0),D(1,0)和一定直线
,
为该平面上一动点,作
,垂足为Q,且
(1)问点在什么曲线上,并求出曲线的轨迹方程M;
(2)又已知点A为抛物线上一点,直线DA与曲线M的交点
B不在
轴的右侧,且点B不在
轴上,并满足
的最小值.
(本小题满分12分)如图所示,为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,问是否存在这样的直线使
与
平行,若平行,求出直线
的方程, 若不平行,请说明理由.
如图,F是定直线l外的一个定点,C是l上的动点,有下列结论:若以C为圆心,CF为半径的圆与l交于A、B两点,过A、B分别作l的垂线与圆
C过F的切线交于点P和点Q,则P、Q必在以F为焦点,l为准线的同一条抛物线上.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求出该抛物线的方程;
(Ⅱ)对以上结论的反向思考可以得到另一个命题:
“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点,
则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请
问:此命题是否正确?试证明你的判断;
(Ⅲ)请选择椭圆或双曲线之一类比(Ⅱ)写出相应的命题并
证明其真假.(只选择一种曲线解答即可,若两种都选,则以第一选择为评分依据)
如图,已知 是 的切线, 为切点, 是⊙O的割线,与 交于 、 两点,圆心 在 的内部,点 是 的中点.
(Ⅰ)证明
四点共圆;
(Ⅱ)求
的大小.
(本小题满分13分)
设椭圆的离心率
,右焦点到直线
的距离
为坐标原点.
(I)求椭圆的方程;
(II)过点作两条互相垂直的射线,与椭圆
分别交于
两点,证明点
到直
线的距离为定值,并求弦
长度的最小值.
试题篮
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