高中数学解答题

如图，△中，，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。

（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．

如图所示，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E为棱AA₁的中点．

(1)证明：B₁C₁⊥CE；
(2)设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为.求线段AM的长．

如图所示，在直棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA₁＝3.

(1)证明：AC⊥B₁D；
(2)求直线B₁C₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（1）证明：MB平面PAD；
（2）求点A到平面PMB的距离．

设函数.
（1）求的单调区间及最大值；
（2）恒成立，试求实数的取值范围.

如图，点分别是椭圆C:的左、右焦点，过点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于点，过点作的垂线交直线于点.

（1）如果点的坐标为（4,4），求椭圆的方程；
（2）试判断直线与椭圆的公共点个数，并证明你的结论.

设．
（1）若，求最大值；
（2）已知正数，满足.求证：；
（3）已知，正数满足.证明:．

已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,右准线且．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与右准线相交于点，试探究在平面直角坐标系内是否存在点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

已知函数.
（1）求的最小正周期和最小值；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

设函数，；
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）设，，若直线轴，求两点间的最短距离.

数列的前项和为，若，点在直线上．
⑴求证：数列是等差数列；
⑵若数列满足，求数列的前项和；
⑶设，求证：．

已知函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的极值；
（Ⅲ）对恒成立，求实数的取值范围.

已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与轨迹C相交于点A，B，l₂与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．

设a为实数，函数f(x)＝e^x－2x＋2a，x∈R．
（Ⅰ）求f(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a＞ln2－1且x＞0时，e^x＞x²－2ax＋1．

已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与轨迹C相交于点A，B，l₂与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．