高中数学试题

在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．

已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于不同的两点，若在轴上存在一点
使得是等边三角形，求的值．

设一个焦点为，且离心率的椭圆上下两顶点分别为，直线交椭圆于两点，直线与直线交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：三点共线．

如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面切于点．

（1）求证：PD⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．

已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为，且过点M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线l交椭圆C于A、B两点，且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B、C的坐标为B（－2，0），C（2，0），直线AB，AC的斜率乘积为，设顶点A的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）设曲线E与y轴负半轴的交点为D，过点D作两条互相垂直的直线l₁，l₂，这两条直线与曲线E的另一个交点分别为M，N．设l₁的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，试求的取值范围．

如图，设椭圆：的离心率，顶点的距离为,为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点．
（ⅰ）试判断点到直线的距离是否为定值．若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
（ⅱ）求的最小值．

己知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线与椭圆C交于不同两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线斜率为1，求线段的长；
（3）设线段的垂直平分线交轴于点P（0，y₀），求的取值范围．

已知为椭圆上的三个点，为坐标原点．
（1）若所在的直线方程为，求的长；
（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由．

已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之 和为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于两点．
（1）若轴上一点满足，求直线斜率的值；
（2）是否存在这样的直线，使的最大值为（其中为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由．

已知函数（，是不同时为零的常数）．
（1）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：函数在内至少存在一个零点．

已知二次函数．
（1）若，试判断函数零点个数．
（2）若对且，，证明方程必有一个实数根属于．
（3）是否存在，使同时满足以下条件①当时，函数有最小值0；②对任意实数x,都有．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

已知函数（其中且），是的反函数．
（1）已知关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论函数的奇偶性和单调性；
（3）当，时，关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围．

对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为；那么把（）叫闭函数，且条件②中的区间为的一个“好区间”．
（1）求闭函数的“好区间”；
（2）若为闭函数的“好区间”，求、的值；
（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围．

一次函数是上的增函数，，已知．
（1）求；
（2）若在单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，有最大值，求实数的值．