初中数学有理数解答题

阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔 $(J$． $\mathit{Npler}$， $1550-1617$年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(\mathit{Evler}$， $1707-1783$年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^x=N(a>0$且 $a\ne 1)$，那么 $x$叫做以 $a$为底 $N$的对数，记作 $x={\log }_{a}N$，比如指数式 $2^4=16$可以转化为对数式 $4={\log }_{2}16$，对数式 $2={\log }_{3}9$可以转化为指数式 $3^2=9$．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

${\log }_a(M\cdot N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$，理由如下：

设 ${\log }_{a}M=m$， ${\log }_{a}N=n$，则 $M=a^m$， $N=a^n$，

$\therefore M\cdot N=a^m\cdot a^n=a^{m+n}$，由对数的定义得 $m+n={\log }_a(M\cdot N)$．

又 $\because m+n={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$，

$\therefore {\log }_a(M\cdot N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：① ${\log }_{2}32=$　　，② ${\log }_{3}27=$　　，③ ${\log }_{7}1=$　　；

（2）求证： ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N(a>0$， $a\ne 1$， $M>0$， $N>0)$；

（3）拓展运用：计算 ${\log }_{5}125+{\log }_{5}6-{\log }_{5}30$．

计算： $-1^2+{(\pi -2021)}^0+2\sin 60°-|1-\sqrt{3}|$．

（1）计算： ${(-1)}^4\times |-8|+{(-2)}^3\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ ．

（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．

$\frac{2x-1}{3}>\frac{3x-2}{2}-1$ ．

解： $2(2x-1)>3(3x-2)-6\dots \dots$ 第一步

$4x-2>9x-6-6\dots \dots$ 第二步

$4x-9x>-6-6+2\dots \dots$ 第三步

$-5x>-10\dots \dots$ 第四步

$x>2\dots \dots$ 第五步

任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据 　  　（运算律）进行变形的；

②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　；

任务二：请直接写出该不等式的正确解集．

某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元 $/$本、10元 $/$本．现购进 $m$本甲种书和 $n$本乙种书，共付款 $Q$元．

（1）用含 $m$， $n$的代数式表示 $Q$；

（2）若共购进 $5\times {10}^4$本甲种书及 $3\times {10}^3$本乙种书，用科学记数法表示 $Q$的值．

在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．

定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．

例如： $426$是“好数”，因为4，2，6都不为0，且 $4+2＝6$，6能被6整除；

643不是“好数”，因为 $6+4＝10$，10不能被3整除．

（1）判断 $312$， $675$是否是“好数”？并说明理由；

（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{1}{3}\times (1+\frac{2}{1})=2-\frac{1}{1}$，

第2个等式： $\frac{3}{4}\times (1+\frac{2}{2})=2-\frac{1}{2}$，

第3个等式： $\frac{5}{5}\times (1+\frac{2}{3})=2-\frac{1}{3}$，

第4个等式： $\frac{7}{6}\times (1+\frac{2}{4})=2-\frac{1}{4}$．

第5个等式： $\frac{9}{7}\times (1+\frac{2}{5})=2-\frac{1}{5}$．

$\dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　 $\frac{11}{8}\times (1+\frac{2}{6})=2-\frac{1}{6}$　；

（2）写出你猜想的第 $n$个等式：　　（用含 $n$的等式表示），并证明．

[材料阅读]2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个觇标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于 $300m$时，还要考虑球气差，球气差计算公式为 $f=\frac{0.43d^2}{R}$（其中 $d$为两点间的水平距离， $R$为地球的半径， $R$取 $6400000m)$，即：山的海拔高度 $=$测量点测得山的高度 $+$测量点的海拔高度 $+$球气差．

[问题解决]某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点 $A$， $B$的水平距离 $d=800m$，测量仪 $\mathit{AC}=1.5m$，觇标 $\mathit{DE}=2m$，点 $E$， $D$， $B$在垂直于地面的一条直线上，在测量点 $A$处用测量仪测得山顶觇标顶端 $E$的仰角为 $37°$，测量点 $A$处的海拔高度为 $1800m$．

（1）数据6400000用科学记数法表示为　 $6.4\times {10}^6$　；

（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到 $0.01m)$

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

（1）计算： ${(-4)}^2\times {(-\frac{1}{2})}^3-(-4+1)$．

（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}-\frac{2x+1}{2x+6}$

$=\frac{(x+3)(x-3)}{{(x+3)}^2}-\frac{2x+1}{2(x+3)}\dots$第一步

$=\frac{x-3}{x+3}-\frac{2x+1}{2(x+3)}\dots$第二步

$=\frac{2(x-3)}{2(x+3)}-\frac{2x+1}{2(x+3)}\dots$第三步

$=\frac{2x-6-(2x+1)}{2(x+3)}\dots$第四步

$=\frac{2x-6-2x+1}{2(x+3)}\dots$第五步

$=-\frac{5}{2x+6}\dots$第六步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第　　步是进行分式的通分，通分的依据是　　．或填为：　　；

②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

如图，在数轴上，点 $A$、 $B$分别表示数1、 $-2x+3$．

（1）求 $x$的取值范围；

（2）数轴上表示数 $-x+2$的点应落在　　．

$A$．点 $A$的左边           $B$．线段 $\mathit{AB}$上              $C$．点 $B$的右边

我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 $|x-2|$的几何意义是数轴上 $x$所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为 $|x+1|=|x-(-1\left)\right|$，所以 $|x+1|$的几何意义就是数轴上 $x$所对应的点与 $-1$所对应的点之间的距离．

（1）发现问题：代数式 $|x+1|+|x-2|$的最小值是多少？

（2）探究问题：如图，点 $A$、 $B$、 $P$分别表示数 $-1$、2、 $x$， $\mathit{AB}=3$．

$\because |x+1|+|x-2|$的几何意义是线段 $\mathit{PA}$与 $\mathit{PB}$的长度之和，

$\therefore$当点 $P$在线段 $\mathit{AB}$上时， $\mathit{PA}+\mathit{PB}=3$，当点 $P$在点 $A$的左侧或点 $B$的右侧时， $\mathit{PA}+\mathit{PB}>3$．

$\therefore |x+1|+|x-2|$的最小值是3．

（3）解决问题：

① $|x-4|+|x+2|$的最小值是　　；

②利用上述思想方法解不等式： $|x+3|+|x-1|>4$；

③当 $a$为何值时，代数式 $|x+a|+|x-3|$的最小值是2．

数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式 $|x-1|<2$的解集

（1）探究 $|x-1|$的几何意义

如图①，在以 $O$为原点的数轴上，设点 $A\text{'}$对应的数是 $x-1$，由绝对值的定义可知，点 $A\text{'}$与点 $O$的距离为 $|x-1|$，可记为 $A\text{'}O=|x-1|$．将线段 $A\text{'}O$向右平移1个单位得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$对应的数是 $x$，点 $B$对应的数是1．因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=|x-1|$．因此， $|x-1|$的几何意义可以理解为数轴上 $x$所对应的点 $A$与1所对应的点 $B$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（2）求方程 $|x-1|=2$的解

因为数轴上3和 $-1$所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3， $-1$．

（3）求不等式 $|x-1|<2$的解集

因为 $|x-1|$表示数轴上 $x$所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 $x$的范围．

请在图②的数轴上表示 $|x-1|<2$的解集，并写出这个解集．

探究二：探究 $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义

（1）探究 $\sqrt{x^2+y^2}$的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点 $M$的坐标为 $(x,y)$，过 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于 $P$，作 $\mathit{MQ}\perp y$轴于 $Q$，则 $P$点坐标为 $(x,0)$， $Q$点坐标为 $(0,y)$， $\mathit{OP}=\left|x\right|$， $\mathit{OQ}=\left|y\right|$，在 $\text{Rt}\Delta \text{OPM}$中， $\mathit{PM}=\mathit{OQ}=\left|y\right|$，则 $\mathit{MO}=\sqrt{O{P}^2+P{M}^2}=\sqrt{|x{|}^2+|y{|}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$，因此， $\sqrt{x^2+y^2}$ 的几何意义可以理解为点 $M(x,y)$与点 $O(0,0)$之间的距离 $\mathit{MO}$．

（2）探究 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点 $A\text{'}$的坐标为 $(x-1,y-5)$，由探究二（1）可知， $A\text{'}O=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，将线段 $A\text{'}O$先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$的坐标为 $(x,y)$，点 $B$的坐标为 $(1,5)$，因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，因此 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义可以理解为点 $A(x,y)$与点 $B(1,5)$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（3）探究 $\sqrt{{(x+3)}^2+{(y-4)}^2}$的几何意义

请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．

（4） $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义可以理解为：　　．

拓展应用：

（1） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的几何意义可以理解为：点 $A(x,y)$与点 $E(2,-1)$的距离和点 $A(x,y)$与点 $F$　　（填写坐标）的距离之和．

（2） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的最小值为　　（直接写出结果）

求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法 $--$更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．

例如：求91与56的最大公约数

解：

请用以上方法解决下列问题：

（1）求108与45的最大公约数；

（2）求三个数78、104、143的最大公约数．

设a，b是任意两个实数，规定a与b之间的一种运算“⊕”为： $a\oplus b\left\{\begin{array}{c}\frac{b}{a}(a>0)\\ a-b(a\le 0)\end{array}\right.$，

例如： $1\oplus (-3)=\frac{-3}{1}=-3,(-3)\oplus 2=(-3)-2=-5$，

$\left(x^2+1\right)\oplus (x-1)=\frac{x-1}{x^2+1}$（因为 $x^2+1＞0$）

参照上面材料，解答下列问题：

（1） $2\oplus 4＝$　　， $\mathit{（﹣}2）\oplus 4=$　　；

（2）若 $x>\frac{1}{2}$，且满足 $（2x-1）\oplus （4x^2-1\mathit{）＝（﹣}4）\oplus （1-4x）$，求x的值．

阅读理解：

材料一：若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成"和谐三数组"．

材料二：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$ 的两根分别为 $x_1$ ， $x_2$ ，则有 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ， $x_1·x_2=\frac{c}{a}$ ．

问题解决：

（1）请你写出三个能构成"和谐三数组"的实数 　 　；

（2）若 $x_1$ ， $x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a$ ， $b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的两根， $x_3$ 是关于 $x$ 的方程 $\mathit{bx}+c=0(b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的解．求证： $x_1$ ， $x_2$ ， $x_3$ 可以构成"和谐三数组"；

（3）若 $A(m,y_1)$ ， $B(m+1,y_2)$ ， $C(m+3,y_3)$ 三个点均在反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成"和谐三数组"，求实数 $m$ 的值．

用※定义一种新运算：对于任意实数 $m$ 和 $n$ ，规定 $m$ ※ $n=m^{2}n-\mathit{mn}-3n$ ，如：1※ $2=1^2\times 2-1\times 2-3\times 2=-6$ ．

（1）求 $(-2)$ ※ $\sqrt{3}$ ；

（2）若3※ $m⩾-6$ ，求 $m$ 的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．