初中数学规律型：图形的变化类解答题

用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有2016颗黑色棋子？请说明理由．

用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．

在数学的学习过程中，我们经常用以下的探索过程解决相关问题．
数学问题：三角形有3个顶点，如果在它的内部再画个点，并以这个点为顶点画三角形，那么可以剪得多少个这样的三角形？

探索规律：为了解决这个问题，我们可以从、、等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律．
（1）填表：当三角形内有4个点时，把表格补充完整；
（2）你发现的变化规律是：     ；
（3）猜想：当三角形内点的个数为时，最多可以剪得        个三角形；
像这样通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
问题解决：请你尝试用归纳的方法探索的和是多少？

“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．

例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点， $\dots \dots$，按此规律，求图10、图 $n$有多少个点？

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是 $6\times 1=6$个；图2中黑点个数是 $6\times 2=12$个：图3中黑点个数是 $6\times 3=18$个； $\dots \dots$；所以容易求出图10、图 $n$中黑点的个数分别是　　、　　．

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：

（1）第5个点阵中有　　个圆圈；第 $n$个点阵中有　　个圆圈．

（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．

如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有1个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有2个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有3个点时，线段总数共有10条，…

（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有      条．
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有      条。
（3）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可将这个多边形分割成2003个三角形，那么此多边形的边数为多少？

如图所示，AB=16cm，

（1）若C₁是AB的中点，求AC₁的长度
（2）若C₂是A C₁的中点，求AC₂的长度
（3）若C₃是A C₂的中点，求AC₃的长度
（4）若照上述规律发展下去，则AC_n的长度是多少呢？

问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．

问题探究：

我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．

探究一

用若干木棒来搭建横长是 $m$，纵长是 $n$的矩形框架 $(m$、 $n$是正整数），需要木棒的条数．

如图①，当 $m=1$， $n=1$时，横放木棒为 $1\times (1+1)$条，纵放木棒为 $(1+1)\times 1$条，共需4条；

如图②，当 $m=2$， $n=1$时，横放木棒为 $2\times (1+1)$条，纵放木棒为 $(2+1)\times 1$条，共需7条；

如图③，当 $m=2$， $n=2$时，横放木棒为 $2\times (2+1)$条，纵放木棒为 $(2+1)\times 2$条，共需12条；

如图④，当 $m=3$， $n=1$时，横放木棒为 $3\times (1+1)$条，纵放木棒为 $(3+1)\times 1$条，共需10条；

如图⑤，当 $m=3$， $n=2$时，横放木棒为 $3\times (2+1)$条，纵放木棒为 $(3+1)\times 2$条，共需17条．

问题（一 $)$：当 $m=4$， $n=2$时，共需木棒　　条．

问题（二 $)$：当矩形框架横长是 $m$，纵长是 $n$时，横放的木棒为　　条，

纵放的木棒为　　条．

探究二

用若干木棒来搭建横长是 $m$，纵长是 $n$，高是 $s$的长方体框架 $(m$、 $n$、 $s$是正整数），需要木棒的条数．

如图⑥，当 $m=3$， $n=2$， $s=1$时，横放与纵放木棒之和为 $[3\times (2+1)+(3+1)\times 2]\times (1+1)=34$条，竖放木棒为 $(3+1)\times (2+1)\times 1=12$条，共需46条；

如图⑦，当 $m=3$， $n=2$， $s=2$时，横放与纵放木棒之和为 $[3\times (2+1)+(3+1)\times 2]\times (2+1)=51$条，竖放木棒为 $(3+1)\times (2+1)\times 2=24$条，共需75条；

如图⑧，当 $m=3$， $n=2$， $s=3$时，横放与纵放木棒之和为 $[3\times (2+1)+(3+1)\times 2]\times (3+1)=68$条，竖放木棒为 $(3+1)\times (2+1)\times 3=36$条，共需104条．

问题（三 $)$：当长方体框架的横长是 $m$，纵长是 $n$，高是 $s$时，横放与纵放木棒条数之和为　　条，竖放木棒条数为　　条．

实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是　　．

拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒　　条．

在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．

用点A₁、A₂、A₃…A₄₈分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

（1）填写上图中第四个图中y的值为　　，第五个图中y的值为　　．

（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为　 　，当 $x＝48$时，对应的y＝　   　．

（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？

某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：
（1）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？
（2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌，为什么？

问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“”形纸片，图②是一张的方格纸的方格纸指边长分别为，的矩形，被分成个边长为1的小正方形，其中，，且，为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在的方格纸中，共可以找到2个位置不同的方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在的方格纸中，共可以找到　　个位置不同的方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在的方格纸中，共可以找到　　个位置不同的方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

问题解决：

把图①放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为，，，，，且，，是正整数）的长方体，被分成了个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　　个图⑦这样的几何体．

如图， 一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形．

（1）一个3×2的矩形用不同的方式分割后， 小正方形的个数可以是                   ；
一个5×2的矩形用不同的方式分割后， 小正方形的个数可以是                   ；
（2）一个n×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最少是____________________．（直接填写结果）．

（阅读）

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

（理解）

（1）如图1，两个直角边长分别为 $a$、 $b$、斜边长为 $c$的直角三角形和一个两条直角边都是 $c$的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（2）如图2， $n$行 $n$列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： $n^2=$　                      　；

（运用）

（3） $n$边形有 $n$个顶点，在它的内部再画 $m$个点，以 $(m+n)$个点为顶点，把 $n$边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 $y$个这样的三角形．当 $n=3$， $m=3$时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以 $y=7$．

①当 $n=4$， $m=2$时，如图4， $y=$　   　；当 $n=5$， $m=$　 　时， $y=9$；

②对于一般的情形，在 $n$边形内画 $m$个点，通过归纳猜想，可得 $y=$　　（用含 $m$、 $n$的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：

（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；

（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．

（1）观察下列图形与等式的关系，并填空

（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有的代数式填空：

　　　　．

图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，
以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以
算出图1中所有圆圈的个数为1＋2＋3＋…＋n＝．

如果图中的圆圈共有13层，请解决下列问题：
（1）我们自上往下，在每个圆圈中按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，……，则最底层最左
边这个圆圈中的数是         ；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数－23，－22，－21，－20，……，求
最底层最右边圆圈内的数是_______；
（3）求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．