初中数学二次函数的性质解答题

已知函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c(b$， $c$为常数）的图象经过点 $(-2,4)$．

（1）求 $b$， $c$满足的关系式；

（2）设该函数图象的顶点坐标是 $(m,n)$，当 $b$的值变化时，求 $n$关于 $m$的函数解析式；

（3）若该函数的图象不经过第三象限，当 $-5⩽x⩽1$时，函数的最大值与最小值之差为16，求 $b$的值．

如图，已知二次函数 $y=x^2+\mathit{ax}+3$的图象经过点 $P(-2,3)$．

（1）求 $a$的值和图象的顶点坐标．

（2）点 $Q(m,n)$在该二次函数图象上．

①当 $m=2$时，求 $n$的值；

②若点 $Q$到 $y$轴的距离小于2，请根据图象直接写出 $n$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\mathit{OABC}$的边长为4，边 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$分别在 $x$轴， $y$轴的正半轴上，把正方形 $\mathit{OABC}$的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点 $P$为抛物线 $y=-{(x-m)}^2+m+2$的顶点．

（1）当 $m=0$时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．

（2）当 $m=3$时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点 $P$在正方形 $\mathit{OABC}$内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求 $m$的取值范围．

已知抛物线 $y=2x^2-4x+c$与 $x$轴有两个不同的交点．

（1）求 $c$的取值范围；

（2）若抛物线 $y=2x^2-4x+c$经过点 $A(2,m)$和点 $B(3,n)$，试比较 $m$与 $n$的大小，并说明理由．

设二次函数 $y=(x-x_1)(x-x_2)(x_1$， $x_2$是实数）．

（1）甲求得当 $x=0$时， $y=0$；当 $x=1$时， $y=0$；乙求得当 $x=\frac{1}{2}$时， $y=-\frac{1}{2}$．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含 $x_1$， $x_2$的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过 $(0,m)$和 $(1,n)$两点 $(m$， $n$是实数），当 $0<x_1<x_2<1$时，求证： $0<\mathit{mn}<\frac{1}{16}$．

已知 $k$是常数，抛物线 $y=x^2+(k^2+k-6)x+3k$的对称轴是 $y$轴，并且与 $x$轴有两个交点．

（1）求 $k$的值；

（2）若点 $P$在物线 $y=x^2+(k^2+k-6)x+3k$上，且 $P$到 $y$轴的距离是2，求点 $P$的坐标．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中（如图），已知抛物线 $y=x^2-2x$，其顶点为 $A$．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点 $A$的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线 $y=x^2-2x$的“不动点”的坐标；

②平移抛物线 $y=x^2-2x$，使所得新抛物线的顶点 $B$是该抛物线的“不动点”，其对称轴与 $x$轴交于点 $C$，且四边形 $\mathit{OABC}$是梯形，求新抛物线的表达式．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中（如图）．已知抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(0,\frac{5}{2})$，顶点为 $C$，点 $D$在其对称轴上且位于点 $C$下方，将线段 $\mathit{DC}$绕点 $D$按顺时针方向旋转 $90°$，点 $C$落在抛物线上的点 $P$处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段 $\mathit{CD}$的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点 $C$移到原点 $O$的位置，这时点 $P$落在点 $E$的位置，如果点 $M$在 $y$轴上，且以 $O$、 $D$、 $E$、 $M$为顶点的四边形面积为8，求点 $M$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$ 经过点 $A(4,-5)$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=5\mathit{OB}$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{DA}$ ，求四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积；

（3）如果点 $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\angle \mathit{BEO}=\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $E$ 的坐标．

已知抛物线 $L:y=x^2+x-6$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），并与 $y$轴相交于点 $C$．

（1）求 $A$、 $B$、 $C$三点的坐标，并求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）将抛物线 $L$向左或向右平移，得到抛物线 $L\text{'}$，且 $L\text{'}$与 $x$轴相交于 $A^{\text{'}}$、 $B\text{'}$两点（点 $A\text{'}$在点 $B\text{'}$的左侧），并与 $y$轴相交于点 $C\text{'}$，要使△ $A^{\text{'}}B\text{'}C\text{'}$和 $\mathit{\Delta ABC}$的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

已知抛物线 $C_1:y=a{x}^2-4\mathit{ax}-5(a>0)$．

（1）当 $a=1$时，求抛物线与 $x$轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论 $a$为何值，抛物线 $C_1$一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线 $C_1$沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 $C_2$，直接写出 $C_2$的表达式；

（3）若（2）中抛物线 $C_2$的顶点到 $x$轴的距离为2，求 $a$的值．

某班"数学兴趣小组"对函数 $y=x^2-2\left|x\right|$ 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量 $x$ 的取值范围是全体实数， $x$ 与 $y$ 的几组对应值列表如下：

$x$	$\dots$	$-3$	$-\frac{5}{2}$	$-2$	$-1$	0	1	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	$\dots$	3	$\frac{5}{4}$	$m$	$-1$	0	$-1$	0	$\frac{5}{4}$	3	$\dots$

其中， $m=$　 　．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．

（4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与 $x$ 轴有 　 　个交点，所以对应的方程 $x^2-2\left|x\right|=0$ 有 　 　个实数根；

②方程 $x^2-2\left|x\right|=2$ 有 　 　个实数根；

③关于 $x$ 的方程 $x^2-2\left|x\right|=a$ 有4个实数根时， $a$ 的取值范围是 　 　．

一次函数 $y=\mathit{kx}+4$与二次函数 $y=a{x}^2+c$的图象的一个交点坐标为 $(1,2)$，另一个交点是该二次函数图象的顶点．

（1）求 $k$， $a$， $c$的值；

（2）过点 $A(0$， $m\left)\right(0<m<4)$且垂直于 $y$轴的直线与二次函数 $y=a{x}^2+c$的图象相交于 $B$， $C$两点，点 $O$为坐标原点，记 $W=O{A}^2+B{C}^2$，求 $W$关于 $m$的函数解析式，并求 $W$的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-\frac{1}{a}$与 $y$轴交于点 $A$，将点 $A$向右平移2个单位长度，得到点 $B$，点 $B$在抛物线上．

（1）求点 $B$的坐标（用含 $a$的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点 $P(\frac{1}{2}$， $-\frac{1}{a})$， $Q(2,2)$．若抛物线与线段 $\mathit{PQ}$恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=4x+4$与 $x$轴， $y$轴分别交于点 $A$， $B$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3a$经过点 $A$，将点 $B$向右平移5个单位长度，得到点 $C$．

（1）求点 $C$的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线与线段 $\mathit{BC}$恰有一个公共点，结合函数图象，求 $a$的取值范围．