初中数学二次函数的性质解答题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰直角 $\mathit{\Delta ABC}$ 的直角顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，另两个顶点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，且 $\mathit{AB}=4$ ，抛物线经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线 $l$ 交抛物线于 $M$ ， $N$ 两点，如图2所示．

①求 $\mathit{\Delta CMN}$ 面积的最小值．

②已知 $Q(1,-\frac{3}{2})$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 与点 $Q$ 关于直线 $l$ 对称，若存在，求出点 $P$ 的坐标及直线 $l$ 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点 $F$ 的坐标是 $(4,2)$ ，点 $P$ 为一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $\mathit{PH}$ ，垂足为 $H$ ，点 $P$ 在运动过程中始终满足 $\mathit{PF}=\mathit{PH}$ ．

【提示：平面直角坐标系内点、的坐标分别为，、，，则】

（1）判断点 $P$ 在运动过程中是否经过点 $C(0,5)$ ；

（2）设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；

$x$	$\dots$	0	2	4	6	8	$\dots$
$y$	$\dots$						$\dots$

（3）点 $C$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $C^{\text{'}}$ ，点 $P$ 在直线 $C^{\text{'}}F$ 的下方时，求线段 $\mathit{PF}$ 长度的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，关于 $x$ 的二次函数 $y=x^2+\mathit{px}+q$ 的图象过点 $(-1,0)$ ， $(2,0)$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当 $-2⩽x⩽1$ 时， $y$ 的最大值与最小值的差；

（3）一次函数 $y=(2-m)x+2-m$ 的图象与二次函数 $y=x^2+\mathit{px}+q$ 的图象交点的横坐标分别是 $a$ 和 $b$ ，且 $a<3<b$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2$ 过点 $A(-3,\frac{9}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知直线 $l$ 过点 $A$ ， $M(\frac{3}{2}$ ， $0)$ 且与抛物线交于另一点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，求证： $M{C}^2=\mathit{MA}·\mathit{MB}$ ；

（3）若点 $P$ ， $D$ 分别是抛物线与直线 $l$ 上的动点，以 $\mathit{OC}$ 为一边且顶点为 $O$ ， $C$ ， $P$ ， $D$ 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 $P$ 点坐标．

把抛物线 $C_1:y=x^2+2x+3$ 先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线 $C_2$ ．

（1）直接写出抛物线 $C_2$ 的函数关系式；

（2）动点 $P(a,-6)$ 能否在抛物线 $C_2$ 上？请说明理由；

（3）若点 $A(m,y_1)$ ， $B(n,y_2)$ 都在抛物线 $C_2$ 上，且 $m<n<0$ ，比较 $y_1$ ， $y_2$ 的大小，并说明理由．

2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数 $y$（人 $)$与时间 $x$（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中 $9~15$表示 $9<x⩽15)$

时间 $x$（分钟）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	$9~15$
人数 $y$（人 $)$	0	170	320	450	560	650	720	770	800	810	810

（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的顶点为 $P$．已知 $B(1,0)$， $C(0,-3)$．请答案下列问题：

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点 $P$的坐标；

（2）抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{AP}$的垂直平分线交直线 $\mathit{PE}$于点 $M$，则线段 $\mathit{EM}$的长为　 $\frac{3}{2}$　．

注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$．

若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$图象的顶点在一次函数 $y=\mathit{kx}+t(k\ne 0)$的图象上，则称 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$为 $y=\mathit{kx}+t(k\ne 0)$的伴随函数，如： $y=x^2+1$是 $y=x+1$的伴随函数．

（1）若 $y=x^2-4$是 $y=-x+p$的伴随函数，求直线 $y=-x+p$与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数 $y=\mathit{mx}-3(m\ne 0)$的伴随函数 $y=x^2+2x+n$与 $x$轴两个交点间的距离为4，求 $m$， $n$的值．

已知抛物线 $y=-2x^2+(b-2)x+(c-2020)(b$， $c$为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为 $(1,1)$，求 $b$， $c$的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 $c$的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数 $m$， $n(m<n)$，当 $m⩽x⩽n$时，恰好 $\frac{m}{2m+1}⩽\frac{1}{y+2}⩽\frac{n}{2n+1}$，求 $m$， $n$的值．

如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

如图一，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,\sqrt{3})$三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2） $P(x_1$， $y_1)$、 $Q(4,y_2)$两点均在该抛物线上，若 $y_1⩾y_2$，求 $P$点横坐标 $x_1$的取值范围；

（3）如图二，过点 $C$作 $x$轴的平行线交抛物线于点 $E$，该抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $D$，连结 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CB}$，点 $F$为线段 $\mathit{CB}$的中点，点 $M$、 $N$分别为直线 $\mathit{CD}$和 $\mathit{CE}$上的动点，求 $\mathit{\Delta FMN}$周长的最小值．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $N$，以 $\mathit{AB}$为边在 $x$轴上方作正方形 $\mathit{ABCD}$，点 $P$是 $x$轴上一动点，连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{CP}$的垂线与 $y$轴交于点 $E$．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点 $P$在线段 $\mathit{OB}$（点 $P$不与 $O$、 $B$重合）上运动至何处时，线段 $\mathit{OE}$的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点 $M$，连接 $\mathit{MN}$、 $\mathit{MB}$．请问： $\mathit{\Delta MBN}$的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

在画二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下

$x$	$\dots \dots$	$-1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{甲}$	$\dots \dots$	6	3	2	3	6	$\dots \dots$

乙写错了常数项，列表如下：

$x$	$\dots \dots$	$-1$	0	1	2	3	$\dots \dots$
$y_{乙}$	$\dots \dots$	$-2$	$-1$	2	7	14	$\dots \dots$

通过上述信息，解决以下问题：

（1）求原二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的表达式；

（2）对于二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，当 $x$　 $⩾-1$　时， $y$的值随 $x$的值增大而增大；

（3）若关于 $x$的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=k(a\ne 0)$有两个不相等的实数根，求 $k$的取值范围．

已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的对称轴为直线 $x=1$，其图象与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,3)$．

（1）求 $b$， $c$的值；

（2）直线 $l$与 $x$轴相交于点 $P$．

①如图1，若 $l//y$轴，且与线段 $\mathit{AC}$及抛物线分别相交于点 $E$， $F$，点 $C$关于直线 $x=1$的对称点为点 $D$，求四边形 $\mathit{CEDF}$面积的最大值；

②如图2，若直线 $l$与线段 $\mathit{BC}$相交于点 $Q$，当 $\mathit{\Delta PCQ}\backsim \mathit{\Delta CAP}$时，求直线 $l$的表达式．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧）

（1）求点 $A$， $B$的坐标，并根据该函数图象写出 $y⩾0$时 $x$的取值范围．

（2）把点 $B$向上平移 $m$个单位得点 $B_1$．若点 $B_1$向左平移 $n$个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_2$重合；若点 $B_1$向左平移 $(n+6)$个单位，将与该二次函数图象上的点 $B_3$重合．已知 $m>0$， $n>0$，求 $m$， $n$的值．