初中数学二次函数的性质解答题

正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．

（1）建立适当的平面直角坐标系，

①直接写出O、P、A三点坐标；

②求抛物线L的解析式；

（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

如图，抛物线 y＝ ax ²+2 x﹣3与 x轴交于 A、 B两点，且 B（1，0）

（1）求抛物线的解析式和点 A的坐标；

（2）如图1，点 P是直线 y＝ x上的动点，当直线 y＝ x平分∠ APB时，求点 P的坐标；

（3）如图2，已知直线 $y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{9}$ 分别与 x轴、 y轴交于 C、 F两点，点 Q是直线 CF下方的抛物线上的一个动点，过点 Q作 y轴的平行线，交直线 CF于点 D，点 E在线段 CD的延长线上，连接 QE．问：以 QD为腰的等腰△ QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ，点 $P$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点（与点 $B$ ， $C$ 不重合），连接 $\mathit{AP}$ 并延长 $\mathit{AP}$ 交抛物线于点 $Q$ ，连接 $\mathit{CQ}$ ， $\mathit{BQ}$ ，设点 $Q$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的解析式和点 $C$ 的坐标；

（2）当 $\mathit{\Delta BCQ}$ 的面积等于2时，求 $m$ 的值；

（3）在点 $P$ 运动过程中， $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{AP}}$ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C(0,-3)$ ．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点 $D$ 为 $y$ 轴上一点，如果直线 $\mathit{BD}$ 与直线 $\mathit{BC}$ 的夹角为 $15°$ ，求线段 $\mathit{CD}$ 的长度；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ，点 $P$ 在抛物线上，且满足 $\angle \mathit{PAB}=2\angle \mathit{ACO}$ ，求点 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C(0,3)$ ，作直线 $\mathit{BC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线上存在点 $D$ ，使 $\angle \mathit{DCB}=2\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，点 $F$ 的坐标为 $(0,\frac{7}{2})$ ，点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在直线 $\mathit{BC}$ 上．当以 $D$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $N$ 的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 交 $x$ 轴于 $A(-3,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，直线 $y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$ 与抛物线交于 $A$ ， $D$ 两点，与直线 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．若 $M(m,0)$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $F$ ，交直线 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ，交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ．

①当点 $F$ 在直线 $\mathit{AD}$ 上方的抛物线上，且 $S_{\mathit{\Delta EFG}}=\frac{5}{9}{S}_{\mathit{\Delta OEG}}$ 时，求 $m$ 的值；

②在平面内是否在点 $P$ ，使四边形 $\mathit{EFHP}$ 为正方形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A(-3,0)$ ， $B(1,0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $P(m,0)$ 是 $x$ 轴上的一动点， $\mathit{PM}\perp x$ 轴，交直线 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点 $P$ 仅在线段 $\mathit{AO}$ 上运动，如图，求线段 $\mathit{MN}$ 的最大值；

②若点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，则在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使以 $M$ ， $N$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-2\sqrt{3}x+c(a\ne 0)$ 过点 $O(0,0)$ 和 $A(6,0)$ ．点 $B$ 是抛物线的顶点，点 $D$ 是 $x$ 轴下方抛物线上的一点，连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{OD}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当 $\angle \mathit{BOD}=30°$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $C$ ，交线段 $\mathit{OD}$ 于点 $E$ ，点 $F$ 是线段 $\mathit{OB}$ 上的动点（点 $F$ 不与点 $O$ 和点 $B$ 重合），连接 $\mathit{EF}$ ，将 $\mathit{\Delta BEF}$ 沿 $\mathit{EF}$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B^{\text{'}}$ ， $\mathit{\Delta EF}{B}^{\text{'}}$ 与 $\mathit{\Delta OBE}$ 的重叠部分为 $\mathit{\Delta EFG}$ ，在坐标平面内是否存在一点 $H$ ，使以点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $H$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象关于 $y$ 轴对称，它们与直线 $x=t(t>0)$ 分别相交于点 $P$ ， $Q$ ．

（1）如图，函数 $F_1$ 为 $y=x+1$ ，当 $t=2$ 时， $\mathit{PQ}$ 的长为 　 　；

（2）函数 $F_1$ 为 $y=\frac{3}{x}$ ，当 $\mathit{PQ}=6$ 时， $t$ 的值为 　　；

（3）函数 $F_1$ 为 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ ，

①当 $t=\frac{\sqrt{b}}{b}$ 时，求 $\mathit{\Delta OPQ}$ 的面积；

②若 $c>0$ ，函数 $F_1$ 和 $F_2$ 的图象与 $x$ 轴正半轴分别交于点 $A(5,0)$ ， $B(1,0)$ ，当 $c⩽x⩽c+1$ 时，设函数 $F_1$ 的最大值和函数 $F_2$ 的最小值的差为 $h$ ，求 $h$ 关于 $c$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $c$ 的取值范围．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x=-1$ ，点 $C$ 坐标为 $(0,4)$ ．

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{ABP}=\angle \mathit{BCO}$ ，如果存在，求出点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $P$ 在 $x$ 轴上方，点 $M$ 是直线 $\mathit{BP}$ 上方抛物线上的一个动点，求点 $M$ 到直线 $\mathit{BP}$ 的最大距离；

（4）点 $G$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上的动点，点 $H$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点，点 $Q$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点，三个动点都不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合，连接 $\mathit{GH}$ ， $\mathit{GQ}$ ， $\mathit{HQ}$ ，得到 $\mathit{\Delta GHQ}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta GHQ}$ 周长的最小值．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$ 经过点 $A(-2,-4)$ 和点 $C(2,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{BD}$ ，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{PBC}=2\angle \mathit{BDO}$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$ ，交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $M$ 是线段 $\mathit{AD}$ 上的动点（不与点 $A$ ，点 $D$ 重合），将 $\mathit{\Delta CME}$ 沿 $\mathit{ME}$ 所在直线翻折，得到 $\mathit{\Delta FME}$ ，当 $\mathit{\Delta FME}$ 与 $\mathit{\Delta AME}$ 重叠部分的面积是 $\mathit{\Delta AMC}$ 面积的 $\frac{1}{4}$ 时，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 的长．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+\frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(3,0)$ ，过点 $A$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ ． $P$ 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp l$ 于点 $Q$ ， $M$ 是直线 $l$ 上的一点，其纵坐标为 $-m+\frac{3}{2}$ ．以 $\mathit{PQ}$ ， $\mathit{QM}$ 为边作矩形 $\mathit{PQMN}$ ．

（1）求 $b$ 的值．

（2）当点 $Q$ 与点 $M$ 重合时，求 $m$ 的值．

（3）当矩形 $\mathit{PQMN}$ 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求 $m$ 的值．

（4）当抛物线在矩形 $\mathit{PQMN}$ 内的部分所对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，直接写出 $m$ 的取值范围．

在平面直角坐标系中，函数 $y=x^2-2\mathit{ax}-1(a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标．

（2）当此函数图象经过点 $(1,2)$ 时，求此函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时 $x$ 的取值范围．

（3）当 $x⩽0$ 时，若函数 $y=x^2-2\mathit{ax}-1(a$ 为常数）的图象的最低点到直线 $y=2a$ 的距离为2，求 $a$ 的值．

（4）设 $a<0$ ， $\text{Rt}\Delta \text{EFG}$ 三个顶点的坐标分别为 $E(-1,-1)$ 、 $F(-1,a-1)$ 、 $G(0,a-1)$ ．当函数 $y=x^2-2\mathit{ax}-1(a$ 为常数）的图象与 $\mathit{\Delta EFG}$ 的直角边有交点时，交点记为点 $P$ ．过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $P\text{'}(P\text{'}$ 与 $P$ 不重合），过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $A\text{'}$ ．若 $\mathit{AA}\text{'}=2\mathit{PP}\text{'}$ ，直接写出 $a$ 的值．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(2,0)$ ， $B(6,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $E$ ．．

（1）求这个二次函数的表达式，并写出点 $E$ 的坐标；

（2）如图①， $D$ 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当 $\mathit{BD}$ 的垂直平分线恰好经过点 $C$ 时，求点 $D$ 的坐标；

（3）如图②， $P$ 是该二次函数图象上的一个动点，连接 $\mathit{OP}$ ，取 $\mathit{OP}$ 中点 $Q$ ，连接 $\mathit{QC}$ ， $\mathit{QE}$ ， $\mathit{CE}$ ，当 $\mathit{\Delta CEQ}$ 的面积为12时，求点 $P$ 的坐标．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $\mathit{OA}$ 交二次函数 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ 的图象于点 $A$ ， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $B$ 在该二次函数的图象上，设过点 $(0,m)$ （其中 $m>0)$ 且平行于 $x$ 轴的直线交直线 $\mathit{OA}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{OB}$ 于点 $N$ ，以线段 $\mathit{OM}$ 、 $\mathit{ON}$ 为邻边作矩形 $\mathit{OMPN}$ ．

（1）若点 $A$ 的横坐标为8．

①用含 $m$ 的代数式表示 $M$ 的坐标；

②点 $P$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

（2）当 $m=2$ 时，若点 $P$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $\mathit{OA}$ 的函数表达式．