初中数学二次函数的性质解答题

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $y$轴交于点 $A$，过点 $A$作 $x$轴的平行线交抛物线于另一点 $B$，抛物线过点 $C(1,0)$，且顶点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）填空： $b=$　 　；

（2）点 $P$是抛物线上一点，点 $P$的横坐标大于1，直线 $\mathit{PC}$交直线 $\mathit{BD}$于点 $Q$．若 $\angle \mathit{CQD}=\angle \mathit{ACB}$，求点 $P$的坐标；

（3）点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，点 $E$关于直线 $\mathit{BD}$对称的点为 $F$，点 $F$关于直线 $\mathit{BC}$对称的点为 $G$，连接 $\mathit{AG}$．当点 $F$在 $x$轴上时，直接写出 $\mathit{AG}$的长．

如图所示，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$的图象（记为抛物线 $\Gamma )$与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴分别交于点 $A$、 $B$，点 $A$、 $B$的横坐标分别记为 $x_1$， $x_2$，且 $0<x_1<x_2$．

（1）若 $a=c$， $b=-3$，且过点 $(1,-1)$，求该二次函数的表达式；

（2）若关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$的判别式△ $=4$．求证：当 $b<-\frac{5}{2}$时，二次函数 $y_1=a{x}^2+(b+1)x+c$的图象与 $x$轴没有交点．

（3）若 $A{B}^2=\frac{c^2-2c+6}{c}$，点 $P$的坐标为 $(-\sqrt{x_0}$， $-1)$，过点 $P$作直线 $l$垂直于 $y$轴，且抛物线的 $\Gamma$的顶点在直线 $l$上，连接 $\mathit{OP}$、 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BP}$， $\mathit{PA}$的延长线与抛物线 $\Gamma$交于点 $D$，若 $\angle \mathit{OPB}=\angle \mathit{DAB}$，求 $x_0$的最小值．

某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6\mathit{cm}$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 $45°$ 的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $\mathit{ABCD}$ 时，求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形．

（3）设平移的距离为 $\mathit{xcm}(0<x⩽6+6\sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $\mathit{sc}{m}^2$ ．求 $s$ 与 $x$ 的函数关系式，并求 $s$ 的最大值．

已知直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的一个交点为 $A(-1,0)$ ，点 $M(m,0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．

（1）当直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的另一个交点为该抛物线的顶点 $E$ 时，求 $k$ ， $b$ ， $c$ 的值及抛物线顶点 $E$ 的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，若点 $Q$ 在抛物线上，且点 $Q$ 的横坐标为 $b$ ，当 $S_{\mathit{\Delta EQM}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACE}}$ 时，求 $m$ 的值；

（3）点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 的横坐标为 $b+\frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2}\mathit{AM}+2\mathit{DM}$ 的最小值为 $\frac{27\sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+5$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）若过点 $C$ 的直线 $x=2$ 是抛物线的对称轴．

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点 $P$ ，使点 $B$ 关于直线 $\mathit{OP}$ 的对称点 $B^{\text{'}}$ 恰好落在对称轴上．若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）当 $b⩾4$ ， $0⩽x⩽2$ 时，函数值 $y$ 的最大值满足 $3⩽y⩽15$ ，求 $b$ 的取值范围．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知直线 $y=\mathit{kx}+n$ 过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线和直线 $\mathit{BC}$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $\mathit{PA}$ ，交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ．设 $\mathit{\Delta PDC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ADC}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $F$ ．点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上的一个动点，是否存在以点 $E$ ， $F$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 均为一次函数， $m$ 为常数．

（1）如图1，将直线 $\mathit{AO}$ 绕点 $A(-1,0)$ 逆时针旋转 $45°$ 得到直线 $l$ ，直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $B$ ．若直线 $l$ 恰好是 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 中某个函数的图象，请直接写出点 $B$ 坐标以及 $m$ 可能的值；

（2）若存在实数 $b$ ，使得 $\left|m\right|-(b-1)\sqrt{1-b}=0$ 成立，求函数 $y_1=x+2m-1$ ， $y_2=(2m+1)x+1$ 图象间的距离；

（3）当 $m>1$ 时，函数 $y_1=x+2m-1$ 图象分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于 $C$ ， $E$ 两点， $y_2=(2m+1)x+1$ 图象交 $x$ 轴于 $D$ 点，将函数 $y=y_1·y_2$ 的图象最低点 $F$ 向上平移 $\frac{56}{2m+1}$ 个单位后刚好落在一次函数 $y_1=x+2m-1$ 图象上．设 $y=y_1·y_2$ 的图象，线段 $\mathit{OD}$ ，线段 $\mathit{OE}$ 围成的图形面积为 $S$ ，试利用初中知识，探究 $S$ 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到 $S$ 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01． $)$

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+4\mathit{ax}+4a-6(a>0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为点 $D$ ．

（1）当 $a=6$ 时，直接写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的坐标：

$A$　　， $B$　　， $C$　　， $D$　　；

（2）如图1，直线 $\mathit{DC}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若 $\tan \angle \mathit{AED}=\frac{4}{3}$ ，求 $a$ 的值和 $\mathit{CE}$ 的长；

（3）如图2，在（2）的条件下，若点 $N$ 为 $\mathit{OC}$ 的中点，动点 $P$ 在第三象限的抛物线上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，交 $\mathit{AN}$ 于点 $F$ ；过点 $F$ 作 $\mathit{FH}\perp \mathit{DE}$ ，垂足为 $H$ ．设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，记 $f=\mathit{FP}+\mathit{FH}$ ．

①用含 $t$ 的代数式表示 $f$ ；

②设 $-5<t⩽m(m<0)$ ，求 $f$ 的最大值．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ，点 $C$ ，且交 $x$ 轴于另一点 $B$ ．

（1）直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标及拋物线的解析式；

（2）在直线 $\mathit{AC}$ 上方的抛物线上有一点 $M$ ，求四边形 $\mathit{ABCM}$ 面积的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

（3）将线段 $\mathit{OA}$ 绕 $x$ 轴上的动点 $P(m,0)$ 顺时针旋转 $90°$ 得到线段 $O\text{'}A\text{'}$ ，若线段 $O\text{'}A\text{'}$ 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $B$ 且与直线相交于另一点 $C(\frac{5}{2}$ ， $\frac{3}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一动点，当 $\angle \mathit{PAO}=\angle \mathit{BAO}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）点 $N(n$ ， $0\left)\right(0<n<\frac{5}{2})$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $M(0,m)$ 是 $y$ 轴正半轴上的一动点，且满足 $\angle \mathit{MNC}=90°$ ．

①求 $m$ 与 $n$ 之间的函数关系式；

②当 $m$ 在什么范围时，符合条件的 $N$ 点的个数有2个？

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$ 的对称轴为直线 $x=\frac{3}{2}$ ，其图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ $(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）直接写出抛物线的解析式和 $\angle \mathit{CAO}$ 的度数；

（2）动点 $M$ ， $N$ 同时从 $A$ 点出发，点 $M$ 以每秒3个单位的速度在线段 $\mathit{AB}$ 上运动，点 $N$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度在线段 $\mathit{AC}$ 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 $t(t>0)$ 秒，连接 $\mathit{MN}$ ，再将线段 $\mathit{MN}$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $90°$ ，设点 $N$ 落在点 $D$ 的位置，若点 $D$ 恰好落在抛物线上，求 $t$ 的值及此时点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，设 $P$ 为抛物线上一动点， $Q$ 为 $y$ 轴上一动点，当以点 $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta MDB}$ 相似时，请直接写出点 $P$ 及其对应的点 $Q$ 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$ 过点 $A(-1,0)$ 和 $C(0,3)$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$ 点的坐标；

（2）如图1， $E$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线上一点， $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $F$ ， $\mathit{EM}\perp x$ 轴，垂足为 $M$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．当 $\mathit{BG}=\mathit{CF}$ 时，求 $\mathit{\Delta EFG}$ 的面积；

（3）如图2， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 的延长线交于点 $H$ ，在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{OPB}=\angle \mathit{AHB}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中， $A(-2,-1)$ ， $B(3,-1)$ ，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 的长为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AO}$ 延长线于 $C$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，过 $O$ 作 $\mathit{ED}//\mathit{BC}$ 分别交 $\mathit{AB}$ 和半圆 $O$ 于 $E$ ， $D$ ，连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）试判断四边形 $\mathit{OBCD}$ 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点 $D$ 且顶点为 $E$ ．

①求此抛物线的解析式；

②点 $P$ 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 $E$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta OAB}$ 相似，问抛物线上是否存在一点 $Q$ ．使 $S_{\mathit{\Delta EPQ}}=S_{\mathit{\Delta OAB}}$ ？若存在，请直接写出 $Q$ 点的横坐标；若不存在，说明理由．

如图，抛物线 $L:y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{4}x-3$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

（1）求直线 $\mathit{AB}$ 的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点 $P$ 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $\mathit{PC}\perp x$ 轴，垂足为 $C$ ， $\mathit{PC}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，求 $\mathit{PD}+\mathit{BD}$ 的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，将抛物线 $L:y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{4}x-3$ 向右平移得到抛物线 $L^{\text{'}}$ ，直线 $\mathit{AB}$ 与抛物线 $L^{\text{'}}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $A$ 是线段 $\mathit{MN}$ 的中点，求抛物线 $L^{\text{'}}$ 的解析式．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{kx}-2k$ 的顶点为 $N$ ．

（1）若此抛物线过点 $A(-3,1)$ ，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若抛物线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $C$ 为抛物线上一点，且位于线段 $\mathit{AB}$ 的上方，过 $C$ 作 $\mathit{CD}$ 垂直 $x$ 轴于点 $D$ ， $\mathit{CD}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，若 $\mathit{CE}=\mathit{ED}$ ，求点 $C$ 坐标；

（3）已知点 $M(2-\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ， $0)$ ，且无论 $k$ 取何值，抛物线都经过定点 $H$ ，当 $\angle \mathit{MHN}=60°$ 时，求抛物线的解析式．