初中数学二次函数的性质解答题

如图1，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过点 $A(-4,0)$、 $B(-1,3)$两点， $G$是其顶点，将抛物线 $C$绕点 $O$旋转 $180°$，得到新的抛物线 $C\text{'}$．

（1）求抛物线 $C$的函数解析式及顶点 $G$的坐标；

（2）如图2，直线 $l:y=\mathit{kx}-\frac{12}{5}$经过点 $A$， $D$是抛物线 $C$上的一点，设 $D$点的横坐标为 $m(m<-2)$，连接 $\mathit{DO}$并延长，交抛物线 $C\text{'}$于点 $E$，交直线 $l$于点 $M$，若 $\mathit{DE}=2\mathit{EM}$，求 $m$的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{AG}$、 $\mathit{AB}$，在直线 $\mathit{DE}$下方的抛物线 $C$上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{DEP}=\angle \mathit{GAB}$？若存在，求出点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，顶点为 $P(3,3)$的二次函数图象与 $x$轴交于点 $A(6,0)$，点 $B$在该图象上， $\mathit{OB}$交其对称轴 $l$于点 $M$，点 $M$、 $N$关于点 $P$对称，连接 $\mathit{BN}$、 $\mathit{ON}$．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）若点 $B$在对称轴 $l$右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接 $\mathit{OP}$，当 $\mathit{OP}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，请判断 $\mathit{\Delta NOB}$的形状，并求出此时点 $B$的坐标．

②求证： $\angle \mathit{BNM}=\angle \mathit{ONM}$．

两条抛物线 $C_1:y_1=3x^2-6x-1$与 $C_2:y_2=x^2-\mathit{mx}+n$的顶点相同．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）点 $A$是抛物线 $C_2$在第四象限内图象上的一动点，过点 $A$作 $\mathit{AP}\perp x$轴， $P$为垂足，求 $\mathit{AP}+\mathit{OP}$的最大值；

（3）设抛物线 $C_2$的顶点为点 $C$，点 $B$的坐标为 $(-1,-4)$，问在 $C_2$的对称轴上是否存在点 $Q$，使线段 $\mathit{QB}$绕点 $Q$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{QB}\text{'}$，且点 $B\text{'}$恰好落在抛物线 $C_2$上？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a(x+2)(x-6)$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，且 $\tan \angle \mathit{CAB}=\frac{3}{2}$．设抛物线的顶点为 $M$，对称轴交 $x$轴于点 $N$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$为抛物线的对称轴上一点， $Q(n,0)$为 $x$轴上一点，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PC}$．

①当点 $P$在线段 $\mathit{MN}$（含端点）上运动时，求 $n$的变化范围；

②在①的条件下，当 $n$取最大值时，求点 $P$到线段 $\mathit{CQ}$的距离；

③在①的条件下，当 $n$取最大值时，将线段 $\mathit{CQ}$向上平移 $t$个单位长度，使得线段 $\mathit{CQ}$与抛物线有两个交点，求 $t$的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的负半轴交于点 $C$，已知抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$， $B$、 $C$两点的坐标分别为 $B(2\sqrt{3}$， $0)$， $C(0,-3)$．点 $P$为直线 $\mathit{BC}$下方的抛物线上的一个动点（不与 $B$、 $C$两点重合）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$得到 $\mathit{\Delta PBC}$，问是否存在着这样的点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PBC}$的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{AP}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $D$，点 $E$为线段 $\mathit{AD}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{AB}$于点 $M$， $\mathit{DN}\perp \mathit{AC}$于点 $N$，连接 $\mathit{EM}$、 $\mathit{EN}$，则在点 $P$的运动过程中， $\angle \mathit{MEN}$的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

如图1，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(1,0)$， $B(-3,0)$．

（1）求抛物线的解析式及其顶点 $C$的坐标；

（2）设点 $D$是 $x$轴上一点，当 $\tan (\angle \mathit{CAO}+\angle \mathit{CDO})=4$时，求点 $D$的坐标；

（3）如图2．抛物线与 $y$轴交于点 $E$，点 $P$是该抛物线上位于第二象限的点，线段 $\mathit{PA}$交 $\mathit{BE}$于点 $M$，交 $y$轴于点 $N$， $\mathit{\Delta BMP}$和 $\mathit{\Delta EMN}$的面积分别为 $m$、 $n$，求 $m-n$的最大值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$经过 $x$轴上的点 $A(1,0)$和点 $B$及 $y$轴上的点 $C$，经过 $B$、 $C$两点的直线为 $y=x+n$．

①求抛物线的解析式．

②点 $P$从 $A$出发，在线段 $\mathit{AB}$上以每秒1个单位的速度向 $B$运动，同时点 $E$从 $B$出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒2个单位的速度向 $C$运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为 $t$秒，求 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PBE}$的面积最大并求出最大值．

③过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，过抛物线上一动点 $N$（不与点 $B$、 $C$重合）作直线 $\mathit{AM}$的平行线交直线 $\mathit{BC}$于点 $Q$．若点 $A$、 $M$、 $N$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $N$的横坐标．

如图1，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形，点 $A$， $C$分别在 $x$轴和 $y$轴的正半轴上，连结 $\mathit{AC}$， $\mathit{OA}=3$， $\tan \angle \mathit{OAC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点．

（1）求 $\mathit{OC}$的长和点 $D$的坐标；

（2）如图2， $M$是线段 $\mathit{OC}$上的点， $\mathit{OM}=\frac{2}{3}\mathit{OC}$，点 $P$是线段 $\mathit{OM}$上的一个动点，经过 $P$， $D$， $B$三点的抛物线交 $x$轴的正半轴于点 $E$，连结 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$．

①将 $\mathit{\Delta DBF}$沿 $\mathit{DE}$所在的直线翻折，若点 $B$恰好落在 $\mathit{AC}$上，求此时 $\mathit{BF}$的长和点 $E$的坐标；

②以线段 $\mathit{DF}$为边，在 $\mathit{DF}$所在直线的右上方作等边 $\mathit{\Delta DFG}$，当动点 $P$从点 $O$运动到点 $M$时，点 $G$也随之运动，请直接写出点 $G$运动路径的长．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$左侧），与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴交于点 $Q$．

（1）如图1，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．若点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，过点 $P$作 $\mathit{PE}//y$轴交 $\mathit{BC}$于点 $E$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，过点 $B$作 $\mathit{BG}//\mathit{AC}$交 $y$轴于点 $G$．点 $H$， $K$分别在对称轴和 $y$轴上运动，连接 $\mathit{PH}$， $\mathit{HK}$．当 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最大时，求 $\mathit{PH}+\mathit{HK}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathit{KG}$的最小值及点 $H$的坐标．

（2）如图2，将抛物线沿射线 $\mathit{AC}$方向平移，当抛物线经过原点 $O$时停止平移，此时抛物线顶点记为 $D\text{'}$， $N$为直线 $\mathit{DQ}$上一点，连接点 $D\text{'}$， $C$， $N$，△ $D\text{'}\mathit{CN}$能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点 $N$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），交 $y$轴于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，对称轴与 $x$轴交于点 $E$．

（1）连结 $\mathit{BD}$，点 $M$是线段 $\mathit{BD}$上一动点（点 $M$不与端点 $B$， $D$重合），过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{BD}$，交抛物线于点 $N$（点 $N$在对称轴的右侧），过点 $N$作 $\mathit{NH}\perp x$轴，垂足为 $H$，交 $\mathit{BD}$于点 $F$，点 $P$是线段 $\mathit{OC}$上一动点，当 $\mathit{MN}$取得最大值时，求 $\mathit{HF}+\mathit{FP}+\frac{1}{3}\mathit{PC}$的最小值；

（2）在（1）中，当 $\mathit{MN}$取得最大值， $\mathit{HF}+\mathit{FP}+\frac{1}{3}\mathit{PC}$取得最小值时，把点 $P$向上平移 $\frac{\sqrt{2}}{2}$个单位得到点 $Q$，连结 $\mathit{AQ}$，把 $\mathit{\Delta AOQ}$绕点 $O$顺时针旋转一定的角度 $\alpha (0°<\alpha <360°)$，得到△ $A\text{'}\mathit{OQ}\text{'}$，其中边 $A\text{'}Q\text{'}$交坐标轴于点 $G$．在旋转过程中，是否存在一点 $G$，使得 $\angle Q^{\text{'}}=\angle Q^{\text{'}}\mathit{OG}$？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q\text{'}$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-\frac{\sqrt{6}}{6}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{6}$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左边），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接 $\mathit{CD}$，求线段 $\mathit{CD}$的长；

（2）如图2，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$上方抛物线上一点， $\mathit{PF}\perp x$轴于点 $F$， $\mathit{PF}$与线段 $\mathit{AC}$交于点 $E$；将线段 $\mathit{OB}$沿 $x$轴左右平移，线段 $\mathit{OB}$的对应线段是 $O_1{B}_1$，当 $\mathit{PE}+\frac{1}{2}\mathit{EC}$的值最大时，求四边形 $P{O}_1{B}_{1}C$周长的最小值，并求出对应的点 $O_1$的坐标；

（3）如图3，点 $H$是线段 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{CH}$，将 $\mathit{\Delta OBC}$沿直线 $\mathit{CH}$翻折至△ $O_2{B}_{2}C$的位置，再将△ $O_2{B}_{2}C$绕点 $B_2$旋转一周，在旋转过程中，点 $O_2$， $C$的对应点分别是点 $O_3$， $C_1$，直线 $O_3{C}_1$分别与直线 $\mathit{AC}$， $x$轴交于点 $M$， $N$．那么，在△ $O_2{B}_{2}C$的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使 $\mathit{\Delta AMN}$是以 $\mathit{MN}$为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段 $O_{2}M$的长；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$在抛物线 $y=-x^2+4x$上，且横坐标为1，点 $B$与点 $A$关于抛物线的对称轴对称，直线 $\mathit{AB}$与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，点 $E$的坐标为 $(1,1)$．

（1）求线段 $\mathit{AB}$的长；

（2）点 $P$为线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的任意一点，过点 $P$作 $\mathit{AB}$的垂线交 $\mathit{AB}$于点 $H$，点 $F$为 $y$轴上一点，当 $\mathit{\Delta PBE}$的面积最大时，求 $\mathit{PH}+\mathit{HF}+\frac{1}{2}\mathit{FO}$的最小值；

（3）在（2）中， $\mathit{PH}+\mathit{HF}+\frac{1}{2}\mathit{FO}$取得最小值时，将 $\mathit{\Delta CFH}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$后得到△ $\mathit{CF}\text{'}H\text{'}$，过点 $F^{\text{'}}$作 $\mathit{CF}\text{'}$的垂线与直线 $\mathit{AB}$交于点 $Q$，点 $R$为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $S$，使以点 $D$， $Q$， $R$， $S$为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $S$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图1，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$ ，点 $B$ 在第一象限内，点 $C$ 是二次函数图象的顶点，点 $M$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，且 $S_{\mathit{\Delta AMO}}:S_{\mathit{四边形}\mathit{AONB}}=1:48$ ．

（1）求直线 $\mathit{AB}$ 和直线 $\mathit{BC}$ 的解析式；

（2）点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上一点，点 $D$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{PD}//x$ 轴，射线 $\mathit{PD}$ 与抛物线交于点 $G$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp x$ 轴于点 $E$ ， $\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$ 于点 $F$ ．当 $\mathit{PF}$ 与 $\mathit{PE}$ 的乘积最大时，在线段 $\mathit{AB}$ 上找一点 $H$ （不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），使 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的值最小，求点 $H$ 的坐标和 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的最小值；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$ 上有一点 $K(3,4)$ ，将二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 沿直线 $\mathit{BC}$ 平移，平移的距离是 $t(t⩾0)$ ，平移后抛物线上点 $A$ ，点 $C$ 的对应点分别为点 $A\text{'}$ ，点 $C\text{'}$ ；当△ $A\text{'}C\text{'}K$ 是直角三角形时，求 $t$ 的值．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与坐标轴分别交于点 $A$， $B(-3,0)$， $C(1,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）当点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PAB}$的面积最大？

（3）过点 $P$作 $x$轴的垂线，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$，再过点 $P$作 $\mathit{PE}//x$轴交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，请问是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{mx}+2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，已知点 $A$的坐标为 $(-1,0)$， $P$为抛物线第一象限上一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，若 $\angle \mathit{PBA}=45°$，求 $\mathit{\Delta PAB}$的面积；

（3）如图2，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PC}$，若 $\angle \mathit{APC}=2\angle \mathit{PAB}$，求点 $P$的坐标．