初中数学二次函数的性质解答题

抛物线 $y=4x^2-2\mathit{ax}+b$与 $x$轴相交于 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0\left)\right(0<x_1<x_2)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）设 $\mathit{AB}=2$， $\tan \angle \mathit{ABC}=4$，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中，若点 $D$为直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上一动点，当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积最大时，求点 $D$的坐标；

（3）是否存在整数 $a$， $b$使得 $1<x_1<2$和 $1<x_2<2$同时成立，请证明你的结论．

【探究函数 y = x + 4 x 的图象与性质】

（1）函数 $y=x+\frac{4}{x}$的自变量 $x$的取值范围是　　；

（2）下列四个函数图象中函数 $y=x+\frac{4}{x}$的图象大致是　　；

（3）对于函数 $y=x+\frac{4}{x}$，求当 $x>0$时， $y$的取值范围．

请将下列的求解过程补充完整．

解： $\because x>0$

$\therefore y=x+\frac{4}{x}={\left(\sqrt{x}\right)}^2+{\left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^2={(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})}^2+$　　

$\because {(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})}^2⩾0$

$\therefore y⩾$　　．

$[$拓展运用 $]$

（4）若函数 $y=\frac{x^2-5x+9}{x}$，则 $y$的取值范围　　．

如图，抛物线 $y=a{(x+1)}^2+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点，与直线 $y=x-1$交于 $A$， $B$两点，直线 $\mathit{AB}$与抛物线的对称轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上运动．

①点 $P$在什么位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标；

②当点 $P$与点 $C$重合时，连接 $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PEB}$补成矩形，使 $\mathit{\Delta PEB}$上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴分别交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点 $C$，作 $\mathit{CD}$垂直 $x$轴于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，且 $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=8$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ACD}$沿 $x$轴向右平移 $m$个单位，当点 $C$落在抛物线上时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，当点 $C$第一次落在抛物线上记为点 $E$，点 $P$是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 $Q$，使以点 $B$、 $E$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(1,0)$， $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴相交于点 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{BD}$上，当 $\mathit{PE}=\mathit{PC}$时，求点 $P$的坐标．

（3）在（2）的条件下，作 $\mathit{PF}\perp x$轴于 $F$，点 $M$为 $x$轴上一动点， $N$为直线 $\mathit{PF}$上一动点， $G$为抛物线上一动点，当以点 $F$， $N$， $G$， $M$四点为顶点的四边形为正方形时，求点 $M$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，经过点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,3)$三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $M$的坐标；

（2）连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$， $N$为抛物线上的点且在第四象限，当 $S_{\mathit{\Delta NBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$时，求 $N$点的坐标；

（3）在（2）问的条件下，过点 $C$作直线 $l//x$轴，动点 $P(m,3)$在直线 $l$上，动点 $Q(m,0)$在 $x$轴上，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PQ}$、 $\mathit{NQ}$，当 $m$为何值时， $\mathit{PM}+\mathit{PQ}+\mathit{QN}$最小，并求出 $\mathit{PM}+\mathit{PQ}+\mathit{QN}$的最小值．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(3,0)$．与 $y$轴交于点 $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，求点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，求点 $D$的纵坐标的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线的对称轴方程为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为，点运动时间为，试求与的函数关系，并求的最大值；

（3）在点运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

如图1，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$、 $b$、 $c$为常数， $a\ne 0)$的图象过点 $O(0,0)$和点 $A(4,0)$，函数图象最低点 $M$的纵坐标为 $-\frac{8}{3}$，直线 $l$的解析式为 $y=x$．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线 $l$沿 $x$轴向右平移，得直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $B$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp x$轴于点 $E$，把 $\mathit{\Delta BCE}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E$恰好落在抛物线上点 $E\text{'}$时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（3）在（2）的条件下， $l\text{'}$与 $y$轴交于点 $N$，把 $\mathit{\Delta BON}$绕点 $O$逆时针旋转 $135°$得到△ $B\text{'}\mathit{ON}\text{'}$， $P$为 $l\text{'}$上的动点，当△ $\mathit{PB}\text{'}N\text{'}$为等腰三角形时，求符合条件的点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象的顶点坐标是 $(2,1)$，并且经过点 $(4,2)$，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与抛物线交于 $B$， $D$两点，以 $\mathit{BD}$为直径作圆，圆心为点 $C$，圆 $C$与直线 $m$交于对称轴右侧的点 $M(t,1)$，直线 $m$上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：圆 $C$与 $x$轴相切；

（3）过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp m$，垂足为 $E$，再过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp m$，垂足为 $F$，求 $\mathit{BE}:\mathit{MF}$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $A(3,0)$，且 $M(1,-\frac{8}{3})$是抛物线上另一点．

（1）求 $a$、 $b$的值；

（2）连接 $\mathit{AC}$，设点 $P$是 $y$轴上任一点，若以 $P$、 $A$、 $C$三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 $P$点的坐标；

（3）若点 $N$是 $x$轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 $O$、 $A$重合），过点 $N$作 $\mathit{NH}//\mathit{AC}$交抛物线的对称轴于 $H$点．设 $\mathit{ON}=t$， $\mathit{\Delta ONH}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数关系式．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象经过 $A(-1,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,2)$三点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）点 $D$是该二次函数图象上的一点，且满足 $\angle \mathit{DBA}=\angle \mathit{CAO}(O$是坐标原点），求点 $D$的坐标；

（3）点 $P$是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 $\mathit{PA}$分别交 $\mathit{BC}$、 $y$轴于点 $E$、 $F$，若 $\mathit{\Delta PEB}$、 $\mathit{\Delta CEF}$的面积分别为 $S_1$、 $S_2$，求 $S_1-S_2$的最大值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过 $\mathit{\Delta OAB}$的三个顶点，其中点 $A(1,\sqrt{3})$，点 $B(3,-\sqrt{3})$， $O$为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若 $P(4,m)$， $Q(t,n)$为该抛物线上的两点，且 $n<m$，求 $t$的取值范围；

（3）若 $C$为线段 $\mathit{AB}$上的一个动点，当点 $A$，点 $B$到直线 $\mathit{OC}$的距离之和最大时，求 $\angle \mathit{BOC}$的大小及点 $C$的坐标．

如图1，已知二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c(a\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $A(0,4)$，与 $x$轴交于点 $B$、 $C$，点 $C$坐标为 $(8,0)$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$．

（1）请直接写出二次函数 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$的表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）若点 $N$在 $x$轴上运动，当以点 $A$、 $N$、 $C$为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点 $N$的坐标；

（4）如图2，若点 $N$在线段 $\mathit{BC}$上运动（不与点 $B$、 $C$重合），过点 $N$作 $\mathit{NM}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，当 $\mathit{\Delta AMN}$面积最大时，求此时点 $N$的坐标．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $x$轴交于 $A(-4,0)$， $B(1,0)$两点，过点 $B$的直线 $y=\mathit{kx}+\frac{2}{3}$分别与 $y$轴及抛物线交于点 $C$， $D$．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点 $P$从点 $O$出发，在 $x$轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PDC}$为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 $t$的值；

（3）如图2，将直线 $\mathit{BD}$沿 $y$轴向下平移4个单位后，与 $x$轴， $y$轴分别交于 $E$， $F$两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$，在直线 $\mathit{EF}$上是否存在点 $N$，使 $\mathit{DM}+\mathit{MN}$的值最小？若存在，求出其最小值及点 $M$， $N$的坐标；若不存在，请说明理由．