初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-a-b(a<0$， $a$、 $b$为常数）与 $x$轴交于 $A$、 $C$两点，与 $y$轴交于 $B$点，直线 $\mathit{AB}$的函数关系式为 $y=\frac{8}{9}x+\frac{16}{3}$．

（1）求该抛物线的函数关系式与 $C$点坐标；

（2）已知点 $M(m,0)$是线段 $\mathit{OA}$上的一个动点，过点 $M$作 $x$轴的垂线 $l$分别与直线 $\mathit{AB}$和抛物线交于 $D$、 $E$两点，当 $m$为何值时， $\mathit{\Delta BDE}$恰好是以 $\mathit{DE}$为底边的等腰三角形？

（3）在（2）问条件下，当 $\mathit{\Delta BDE}$恰好是以 $\mathit{DE}$为底边的等腰三角形时，动点 $M$相应位置记为点 $M\text{'}$，将 $\mathit{OM}\text{'}$绕原点 $O$顺时针旋转得到 $\mathit{ON}$（旋转角在 $0°$到 $90°$之间）；

$i$．探究：线段 $\mathit{OB}$上是否存在定点 $P(P$不与 $O$、 $B$重合），无论 $\mathit{ON}$如何旋转， $\frac{\mathit{NP}}{\mathit{NB}}$始终保持不变．若存在，试求出 $P$点坐标；若不存在，请说明理由；

$\mathit{ii}$．试求出此旋转过程中， $(\mathit{NA}+\frac{3}{4}\mathit{NB})$的最小值．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\frac{7}{4}$，经过 $A(1,0)$、 $B(7,0)$两点，交 $y$轴于 $D$点，以 $\mathit{AB}$为边在 $x$轴上方作等边 $\mathit{\Delta ABC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上方的抛物线上是否存在点 $M$，是 $S_{\mathit{\Delta ABM}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$？若存在，请求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $E$是线段 $\mathit{AC}$上的动点， $F$是线段 $\mathit{BC}$上的动点， $\mathit{AF}$与 $\mathit{BE}$相交于点 $P$．

①若 $\mathit{CE}=\mathit{BF}$，试猜想 $\mathit{AF}$与 $\mathit{BE}$的数量关系及 $\angle \mathit{APB}$的度数，并说明理由；

②若 $\mathit{AF}=\mathit{BE}$，当点 $E$由 $A$运动到 $C$时，请直接写出点 $P$经过的路径长（不需要写过程）．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$， $B(0,-2)$，并与 $x$轴交于点 $C$，点 $M$是抛物线对称轴 $l$上任意一点（点 $M$， $B$， $C$三点不在同一直线上）．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在抛物线上找出两点 $P_1$， $P_2$，使得△ $M{P}_1{P}_2$与 $\mathit{\Delta MCB}$全等，并求出点 $P_1$， $P_2$的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点 $Q$，使得 $\angle \mathit{BQC}$为直角，若存在，作出点 $Q$（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点 $Q$的坐标．

如图，已知直角坐标系中， $A$、 $B$、 $D$三点的坐标分别为 $A(8,0)$， $B(0,4)$， $D(-1,0)$，点 $C$与点 $B$关于 $x$轴对称，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$．

（1）求过 $A$、 $B$、 $D$三点的抛物线的解析式；

（2）有一动点 $E$从原点 $O$出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点 $E$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $P$，交线段 $\mathit{CA}$于点 $M$，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$，设点 $E$运动的时间为 $t(0<t<4)$秒，求四边形 $\mathit{PBCA}$的面积 $S$与 $t$的函数关系式，并求出四边形 $\mathit{PBCA}$的最大面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点 $H$，使得 $\mathit{\Delta ABH}$是直角三角形？若存在，请直接写出点 $H$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $\odot M$的圆心 $M(-1,2)$， $\odot M$经过坐标原点 $O$，与 $y$轴交于点 $A$．经过点 $A$的一条直线 $l$解析式为： $y=-\frac{1}{2}x+4$与 $x$轴交于点 $B$，以 $M$为顶点的抛物线经过 $x$轴上点 $D(2,0)$和点 $C(-4,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：直线 $l$是 $\odot M$的切线；

（3）点 $P$为抛物线上一动点，且 $\mathit{PE}$与直线 $l$垂直，垂足为 $E$； $\mathit{PF}//y$轴，交直线 $l$于点 $F$，是否存在这样的点 $P$，使 $\mathit{\Delta PEF}$的面积最小．若存在，请求出此时点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta PEF}$面积的最小值；若不存在，请说明理由．

我们知道，经过原点的抛物线可以用 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$表示，对于这样的抛物线：

（1）当抛物线经过点 $(-2,0)$和 $(-1,3)$时，求抛物线的表达式；

（2）当抛物线的顶点在直线 $y=-2x$上时，求 $b$的值；

（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点 $A_1$、 $A_2$、 $\dots$， $A_n$在直线 $y=-2x$上，横坐标依次为 $-1$， $-2$， $-3$， $\dots$， $-n(n$为正整数，且 $n⩽12)$，分别过每个顶点作 $x$轴的垂线，垂足记为 $B_1$、 $B_2$， $\dots$， $B_n$，以线段 $A_n{B}_n$为边向左作正方形 $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$，如果这组抛物线中的某一条经过点 $D_n$，求此时满足条件的正方形 $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$的边长．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,-4)$三点，点 $P$是直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta POC}$是以 $\mathit{OC}$为底边的等腰三角形？若存在，求出 $P$点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）动点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PBC}$面积最大，求出此时 $P$点坐标和 $\mathit{\Delta PBC}$的最大面积．

如图甲，直线 $y=-x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $B$、点 $C$，经过 $B$、 $C$两点的抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的另一个交点为 $A$，顶点为 $P$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 $M$，使以 $C$， $P$， $M$为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当 $0<x<3$时，在抛物线上求一点 $E$，使 $\mathit{\Delta CBE}$的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的三个顶点分别是 $A(-8,3)$， $B(-4,0)$， $C(-4,3)$， $\angle \mathit{ABC}=\alpha °$．抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $C$，且对称轴为 $x=-\frac{4}{5}$，并与 $y$轴交于点 $G$．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$沿 $x$轴向右平移 $m$个单位，使 $B$点移到点 $E$，然后将三角形绕点 $E$顺时针旋转 $\alpha °$得到 $\mathit{\Delta DEF}$．若点 $F$恰好落在抛物线上．

①求 $m$的值；

②连接 $\mathit{CG}$交 $x$轴于点 $H$，连接 $\mathit{FG}$，过 $B$作 $\mathit{BP}//\mathit{FG}$，交 $\mathit{CG}$于点 $P$，求证： $\mathit{PH}=\mathit{GH}$．

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的三个顶点分别是 $A(-8,3)$， $B(-4,0)$， $C(-4,3)$， $\angle \mathit{ABC}=\alpha °$．抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $C$，且对称轴为 $x=-\frac{4}{5}$，并与 $y$轴交于点 $G$．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）将 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$沿 $x$轴向右平移 $m$个单位，使 $B$点移到点 $E$，然后将三角形绕点 $E$顺时针旋转 $\alpha °$得到 $\mathit{\Delta DEF}$．若点 $F$恰好落在抛物线上．

①求 $m$的值；

②连接 $\mathit{CG}$交 $x$轴于点 $H$，连接 $\mathit{FG}$，过 $B$作 $\mathit{BP}//\mathit{FG}$，交 $\mathit{CG}$于点 $P$，求证： $\mathit{PH}=\mathit{GH}$．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1(a\ne 0)$经过 $A(-1,0)$， $B(2,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）点 $P$在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta ACP}$的周长最小时，求出点 $P$的坐标；

（3）点 $N$在抛物线上，点 $M$在抛物线的对称轴上，是否存在以点 $N$为直角顶点的 $\text{Rt}\Delta \text{DNM}$与 $\text{Rt}\Delta \text{BOC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=-x^2+3x+m$的图象与 $x$轴的一个交点为 $B(4,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$轴相交于 $C$点．

（1）求 $m$的值及 $C$点坐标；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上是否存在一点 $M$，使得它与 $B$， $C$两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 $M$点坐标；若不存在，请简要说明理由；

（3） $P$为抛物线上一点，它关于直线 $\mathit{BC}$的对称点为 $Q:$

①当四边形 $\mathit{PBQC}$为菱形时，求点 $P$的坐标；

②点 $P$的横坐标为 $t(0<t<4)$，当 $t$为何值时，四边形 $\mathit{PBQC}$的面积最大，请说明理由．

如图，直线 $y=-x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于点 $B$、 $C$，经过 $B$、 $C$两点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的另一个交点为 $A$，顶点为 $P$，且对称轴为直线 $x=2$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$，求 $\mathit{\Delta PBC}$的面积；

（3）连接 $\mathit{AC}$，在 $x$轴上是否存在一点 $Q$，使得以点 $P$， $B$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-1.0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，顶点为 $D$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点 $D$的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点 $P$，使得以点 $P$、 $D$、 $A$为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 $P$点的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=5x+5$交 $x$轴于点 $A$，交 $y$轴于点 $C$，过 $A$， $C$两点的二次函数 $y=a{x}^2+4x+c$的图象交 $x$轴于另一点 $B$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，点 $N$是线段 $\mathit{BC}$上的动点，作 $\mathit{ND}\perp x$轴交二次函数的图象于点 $D$，求线段 $\mathit{ND}$长度的最大值；

（3）若点 $H$为二次函数 $y=a{x}^2+4x+c$图象的顶点，点 $M(4,m)$是该二次函数图象上一点，在 $x$轴、 $y$轴上分别找点 $F$， $E$，使四边形 $\mathit{HEFM}$的周长最小，求出点 $F$， $E$的坐标．

温馨提示：在直角坐标系中，若点 $P$， $Q$的坐标分别为 $P(x_1$， $y_1)$， $Q(x_2$， $y_2)$，

当 $\mathit{PQ}$平行 $x$轴时，线段 $\mathit{PQ}$的长度可由公式 $\mathit{PQ}=|x_1-x_2|$求出；

当 $\mathit{PQ}$平行 $y$轴时，线段 $\mathit{PQ}$的长度可由公式 $\mathit{PQ}=|y_1-y_2|$求出．