初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交直线于点，设点的横坐标为．

①当是直角三角形时，求点的坐标；

②作点关于点的对称点，则平面内存在直线，使点，，到该直线的距离都相等．当点在轴右侧的抛物线上，且与点不重合时，请直接写出直线的解析式．，可用含的式子表示）

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点的直线交直线于点．

①当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作直线的平行线交直线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；

②连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．

如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点的坐标为，对称轴交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交抛物线的对称轴于点．

（1）求出，，的值．

（2）点为抛物线对称轴上一个动点，若是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标．

（3）点为抛物线上一个动点，当点关于直线的对称点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．

如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

（1）求点的坐标和抛物线的解析式；

（2）为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，．

①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”．请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点和点，与轴交于点．

（1）求，的值及抛物线的解析式；

（2）在图1中，把平移，始终保持点的对应点在抛物线上，点，的对应点分别为，，连接，若点恰好在直线上，求线段的长度；

（3）如图2，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，直线 $y=-\frac{4}{3}x+n$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $C(0,4)$ ，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B(0,-2)$ ．点 $P$ 为抛物线上一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $\mathit{PD}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{PD}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{PB}$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta BDP}$ 为等腰直角三角形时，求线段 $\mathit{PD}$ 的长；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta BDP}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，得到△ $\mathit{BD}\text{'}P\text{'}$ ，且旋转角 $\angle \mathit{PBP}\text{'}=\angle \mathit{OAC}$ ，当点 $P$ 的对应点 $P\text{'}$ 落在坐标轴上时，请直接写出点 $P$ 的坐标．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$ 经过 $A(-1,0)$ ， $C(3,0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 为直线 $\mathit{BC}$ 上方抛物线上一个动点，连接 $\mathit{PB}$ ， $\mathit{PC}$ ．设 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，试求 $S$ 关于 $m$ 的函数解析式，并求出 $S$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$ ，点 $M(2,1)$ 为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使直线 $\mathit{QM}$ 与 $y$ 轴相交所成的锐角等于 $\angle \mathit{OAB}$ ？若存在，请直接写出点 $Q$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，过点的抛物线与直线交于点．点是线段上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设的面积为，点的横坐标为．

（1）请直接写出的值及抛物线的解析式．

（2）为探究最大时点的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助的长与三角形面积公式，求出关于的函数关系式，可确定点的位置．

乙：当点运动到点或点时，的值可看作0，则当点运动到中点时，最大，即最大时，点为的中点．

请参考甲的方法求出最大时点的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线与任意抛物线相交于、两点，是线段上的一个动点，过点作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点．当的面积最大时，点一定是线段的中点吗？试作出判断并说明理由．

如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；

（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为．

①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

②当时，直接写出的面积．

《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则　　．

【操作】将图①中抛物线在轴下方的部分沿轴折叠到轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为，如图②．直接写出图象对应的函数解析式．

【探究】在图②中，过点作直线平行于轴，与图象的交点从左至右依次为点，，，，如图③．求图象在直线上方的部分对应的函数随增大而增大时的取值范围．

【应用】是图③中图象上一点，其横坐标为，连接，．直接写出的面积不小于1时的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，的长度为，以为边向上作等边三角形，抛物线经过点，，三点

（1）当时，　　，当时，　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想与的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作轴的平行线交抛物线于、两点，的长度为，当为等腰直角三角形时，和的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求与的面积比．

如图，若是正数，直线与轴交于点；直线与轴交于点；抛物线的顶点为，且与轴右交点为．

（1）若，求的值，并求此时的对称轴与的交点坐标；

（2）当点在下方时，求点与距离的最大值；

（3）设，点，，，，，分别在，和上，且是，的平均数，求点，与点间的距离；

（4）在和所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数．

如图，抛物线 $L:y=-\frac{1}{2}(x-t)(x-t+4)$ （常数 $t>0)$ 与 $x$ 轴从左到右的交点为 $B$ ， $A$ ，过线段 $\mathit{OA}$ 的中点 $M$ 作 $\mathit{MP}\perp x$ 轴，交双曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 于点 $P$ ，且 $\mathit{OA}·\mathit{MP}=12$ ，

（1）求 $k$ 值；

（2）当 $t=1$ 时，求 $\mathit{AB}$ 的长，并求直线 $\mathit{MP}$ 与 $L$ 对称轴之间的距离；

（3）把 $L$ 在直线 $\mathit{MP}$ 左侧部分的图象（含与直线 $\mathit{MP}$ 的交点）记为 $G$ ，用 $t$ 表示图象 $G$ 最高点的坐标；

（4）设 $L$ 与双曲线有个交点的横坐标为 $x_0$ ，且满足 $4⩽x_0⩽6$ ，通过 $L$ 位置随 $t$ 变化的过程，直接写出 $t$ 的取值范围．