初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，抛物线与轴交于点，点，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在抛物线上，且，求点的坐标；

（3）抛物线上两点，，点的横坐标为，点的横坐标为．点是抛物线上，之间的动点，过点作轴的平行线交于点．

①求的最大值；

②点关于点的对称点为，当为何值时，四边形为矩形．

在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\frac{5}{3}x+c$的图象经过点 $C(0,2)$和点 $D(4,-2)$．点 $E$是直线 $y=-\frac{1}{3}x+2$与二次函数图象在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的解析式及点 $E$的坐标．

（2）如图①，若点 $M$是二次函数图象上的点，且在直线 $\mathit{CE}$的上方，连接 $\mathit{MC}$， $\mathit{OE}$， $\mathit{ME}$．求四边形 $\mathit{COEM}$面积的最大值及此时点 $M$的坐标．

（3）如图②，经过 $A$、 $B$、 $C$三点的圆交 $y$轴于点 $F$，求点 $F$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若直线将的面积分成相等的两部分，求的值；

（3）点是该二次函数图象与轴的另一个交点，点是直线上位于轴下方的动点，点是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线右侧．若以点为直角顶点的与相似，求点的坐标．

如图，已知两直线 $l_1$， $l_2$分别经过点 $A(1,0)$，点 $B(-3,0)$，且两条直线相交于 $y$轴的正半轴上的点 $C$，当点 $C$的坐标为 $(0,\sqrt{3})$时，恰好有 $l_1\perp l_2$，经过点 $A$、 $B$、 $C$的抛物线的对称轴与 $l_1$、 $l_2$、 $x$轴分别交于点 $G$、 $E$、 $F$， $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）试说明 $\mathit{DG}$与 $\mathit{DE}$的数量关系？并说明理由；

（3）若直线 $l_2$绕点 $C$旋转时，与抛物线的另一个交点为 $M$，当 $\mathit{\Delta MCG}$为等腰三角形时，请直接写出点 $M$的坐标．

如图，直线与轴，轴分别交于，两点，过，两点的抛物线与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接，若点是线段上的一个动点（不与，重合），过点作，交于点，当的面积是时，求点的坐标；

（3）在（2）的结论下，将绕点旋转得△，试判断点是否在抛物线上，并说明理由．

如图，以 $D$为顶点的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于点 $C$，直线 $\mathit{BC}$的表达式为 $y=-x+3$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上有一点 $P$，使 $\mathit{PO}+\mathit{PA}$的值最小，求点 $P$的坐标；

（3）在 $x$轴上是否存在一点 $Q$，使得以 $A$、 $C$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BCD}$相似？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}//x$轴，交抛物线于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线 $y=m(-3<m<0)$与线段 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$分别交于 $G$、 $H$两点，过 $G$点作 $\mathit{EG}\perp x$轴于点 $E$，过点 $H$作 $\mathit{HF}\perp x$轴于点 $F$，求矩形 $\mathit{GEFH}$的最大面积；

（3）若直线 $y=\mathit{kx}+1$将四边形 $\mathit{ABCD}$分成左、右两个部分，面积分别为 $S_1$， $S_2$，且 $S_1:S_2=4:5$，求 $k$的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\mathit{EB}$ ， $\mathit{EA}$ ，当 $\mathit{\Delta EAB}$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y=\mathit{mx}+n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D(2,0)$ ，连接 $\mathit{DM}$ ，求证： $\angle \mathit{ADM}-\angle \mathit{ACM}=45°$ ．

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点是 $A(1,3)$，将 $\mathit{OA}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到 $\mathit{OB}$，点 $B$恰好在抛物线上， $\mathit{OB}$与抛物线的对称轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$是线段 $\mathit{AC}$上一动点，且不与点 $A$， $C$重合，过点 $P$作平行于 $x$轴的直线，与 $\mathit{\Delta OAB}$的边分别交于 $M$， $N$两点，将 $\mathit{\Delta AMN}$以直线 $\mathit{MN}$为对称轴翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{MN}$，设点 $P$的纵坐标为 $m$．

①当△ $A\text{'}\mathit{MN}$在 $\mathit{\Delta OAB}$内部时，求 $m$的取值范围；

②是否存在点 $P$，使 $S_{△A\text{'}\mathit{MN}}=\frac{5}{6}{S}_{△\mathit{OA}\text{'}B}$，若存在，求出满足条件 $m$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{(x+1)}^2+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点，与直线 $y=x-1$交于 $A$， $B$两点，直线 $\mathit{AB}$与抛物线的对称轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上运动．

①点 $P$在什么位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标；

②当点 $P$与点 $C$重合时，连接 $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PEB}$补成矩形，使 $\mathit{\Delta PEB}$上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $A(2,3)$， $B(4,3)$， $C(6,-5)$三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，抛物线上一点 $D$在线段 $\mathit{AC}$的上方， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，若满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{AE}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，求点 $D$的坐标；

（3）如图②， $F$为抛物线顶点，过 $A$作直线 $l\perp \mathit{AB}$，若点 $P$在直线 $l$上运动，点 $Q$在 $x$轴上运动，是否存在这样的点 $P$、 $Q$，使得以 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABF}$相似，若存在，求 $P$、 $Q$的坐标，并求此时 $\mathit{\Delta BPQ}$的面积；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y＝x^2+（2m+1）x+m(m-3)$（m为常数， $﹣1\le m\le 4）$。 $A\mathit{（﹣}m-1，y_1）$， $B\left(\frac{\text{m}}{2},y_2\right)$， $C\mathit{（﹣}m，y_3）$是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转90°得到直线a，过抛物线顶点P作 $\mathit{PH}\perp a$于H．

（1）用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；

（2）若无论m取何值，抛物线与直线 $y＝x-\mathit{km}$（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的值；

（3）当 $1＜\mathit{PH}\le 6$时，试比较y₁，y₂，y₃之间的大小．