初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$ 　　， $c=$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{(x+1)}^2+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点，与直线 $y=x-1$交于 $A$， $B$两点，直线 $\mathit{AB}$与抛物线的对称轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上运动．

①点 $P$在什么位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标；

②当点 $P$与点 $C$重合时，连接 $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PEB}$补成矩形，使 $\mathit{\Delta PEB}$上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴分别交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点 $C$，作 $\mathit{CD}$垂直 $x$轴于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，且 $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=8$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ACD}$沿 $x$轴向右平移 $m$个单位，当点 $C$落在抛物线上时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，当点 $C$第一次落在抛物线上记为点 $E$，点 $P$是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 $Q$，使以点 $B$、 $E$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(1,0)$， $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴相交于点 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{BD}$上，当 $\mathit{PE}=\mathit{PC}$时，求点 $P$的坐标．

（3）在（2）的条件下，作 $\mathit{PF}\perp x$轴于 $F$，点 $M$为 $x$轴上一动点， $N$为直线 $\mathit{PF}$上一动点， $G$为抛物线上一动点，当以点 $F$， $N$， $G$， $M$四点为顶点的四边形为正方形时，求点 $M$的坐标．

如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+4（a\ne 0）$与y轴交于点A，与x轴交于点 $C\mathit{（﹣}2，0）$，且经过点B（8，4），连接AB，BO，作 $\mathit{AM}\perp \mathit{OB}$于点M，将 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为　            ，顶点坐标为　           ；

（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿着OB平移后，得到 $\mathit{Rt}△\mathit{DEF}$．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形 $\mathit{AMEF}$的面积．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，经过点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,3)$三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $M$的坐标；

（2）连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$， $N$为抛物线上的点且在第四象限，当 $S_{\mathit{\Delta NBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$时，求 $N$点的坐标；

（3）在（2）问的条件下，过点 $C$作直线 $l//x$轴，动点 $P(m,3)$在直线 $l$上，动点 $Q(m,0)$在 $x$轴上，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PQ}$、 $\mathit{NQ}$，当 $m$为何值时， $\mathit{PM}+\mathit{PQ}+\mathit{QN}$最小，并求出 $\mathit{PM}+\mathit{PQ}+\mathit{QN}$的最小值．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(3,0)$．与 $y$轴交于点 $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，求点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，求点 $D$的纵坐标的取值范围．

如图，二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过点 $A（4\mathit{，﹣}4）$， $B\mathit{（﹣}2，m）$，交y轴于点 $C（0\mathit{，﹣}4）$．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接 $\mathit{AB}，\mathit{AD}$，点E是线段AB上的一动点，过点E作 $\mathit{EF}\parallel \mathit{BD}$交AD于点F．

（1）求二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）判断 $△\mathit{AB}D$的形状，并说明理由；

（3）在点E的运动过程中，直线 $\mathit{BD}$上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时 $\mathit{AG}与\mathit{BD}$的数量关系，并求出点E的坐标；

（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得 $\angle \mathit{EPF}＝90°$的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得 $△\mathit{HPQ}$是以 $\angle \mathit{PQH}$为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点坐标为，抛物线的对称轴方程为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点从点出发，在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为，点运动时间为，试求与的函数关系，并求的最大值；

（3）在点运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，经过 $A(-2,0)$， $B$， $C$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\frac{8}{3}(a<0)$与 $x$轴的另一个交点为 $D$，其顶点为 $M$，对称轴与 $x$轴交于点 $E$．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$是抛物线上的点，使得 $\mathit{\Delta ADR}$的面积是 $▱\mathit{OABC}$的面积的 $\frac{3}{4}$，求点 $R$的坐标；

（3）已知 $P$是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $\mathit{MD}$上存在唯一的点 $Q$，使得 $\angle \mathit{PQE}=45°$，求点 $P$的坐标．

如图1，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$、 $b$、 $c$为常数， $a\ne 0)$的图象过点 $O(0,0)$和点 $A(4,0)$，函数图象最低点 $M$的纵坐标为 $-\frac{8}{3}$，直线 $l$的解析式为 $y=x$．

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线 $l$沿 $x$轴向右平移，得直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $B$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp x$轴于点 $E$，把 $\mathit{\Delta BCE}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E$恰好落在抛物线上点 $E\text{'}$时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（3）在（2）的条件下， $l\text{'}$与 $y$轴交于点 $N$，把 $\mathit{\Delta BON}$绕点 $O$逆时针旋转 $135°$得到△ $B\text{'}\mathit{ON}\text{'}$， $P$为 $l\text{'}$上的动点，当△ $\mathit{PB}\text{'}N\text{'}$为等腰三角形时，求符合条件的点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，已知 $A(3,0)$，且 $M(1,-\frac{8}{3})$是抛物线上另一点．

（1）求 $a$、 $b$的值；

（2）连接 $\mathit{AC}$，设点 $P$是 $y$轴上任一点，若以 $P$、 $A$、 $C$三点为顶点的三角形是等腰三角形，求 $P$点的坐标；

（3）若点 $N$是 $x$轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与 $O$、 $A$重合），过点 $N$作 $\mathit{NH}//\mathit{AC}$交抛物线的对称轴于 $H$点．设 $\mathit{ON}=t$， $\mathit{\Delta ONH}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$之间的函数关系式．

如图1，对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$ 的抛物线经过 $B(2,0)$ 、 $C(0,4)$ 两点，抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $A$

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 $\mathit{COBP}$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

（3）如图2，若 $M$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一动点，在 $x$ 轴是否存在这样的点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta MQC}$ 为等腰三角形且 $\mathit{\Delta MQB}$ 为直角三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $y=-x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象过 $B$ 、 $C$ 两点，且与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{OB}$ 上的一个动点，过点 $M$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，交二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象于点 $E$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似时，求线段 $\mathit{EF}$ 的长度；

（3）已知点 $N$ 是 $y$ 轴上的点，若点 $N$ 、 $F$ 关于直线 $\mathit{EC}$ 对称，求点 $N$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$． $M$为线段 $\mathit{OB}$上的一个动点，过点 $M$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，交抛物线于点 $P$，交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．设 $M$点的坐标为 $M(m,0)$，请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．