初中数学二次函数的应用解答题

某商场销售 $A$， $B$两款书包，已知 $A$， $B$两款书包的进货价格分别为每个30元，50元，商场用3600元的资金购进 $A$， $B$两款书包共100个．

（1）求 $A$， $B$两款书包分别购进多少个．

（2）市场调查发现， $B$款书包每天的销售量 $y$（个 $)$与销售单价 $x$（元 $)$有如下关系： $y=-x+90(60⩽x⩽90)$．设 $B$款书包每天的销售利润为 $w$元，当 $B$款书包的销售单价为多少元时，商场每天 $B$款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？

在“我为祖国点赞“征文活动中，学校计划对获得一，二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．

（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？

（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？

某水果商店销售一种进价为40元 $/$千克的优质水果，若售价为50元 $/$千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元 $/$千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

（1）当售价为55元 $/$千克时，每月销售水果多少千克？

（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？

（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．

（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；

（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．

鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价 $x$元，每星期的销售量为 $y$件．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？

（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？

②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？

某商店销售一种商品，每件的进价为50元，经市场调研发现，当该商品每件的售价为60元时，每天可销售200件；当售价高于进价时，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．

（1）当每件商品的售价为64元时，求该商品每天的销售数量；

（2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润．

随着地铁和共享单车的发展，“地铁 $+$单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 $x$（单位：千米），乘坐地铁的时间 $y_1$（单位：分钟）是关于 $x$的一次函数，其关系如下表：

地铁站	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
$x$（千米）	8	9	10	11.5	13
$y_1$（分钟）	18	20	22	25	28

（1）求 $y_1$关于 $x$的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受 $x$的影响，其关系可以用 $y_2=\frac{1}{2}{x}^2-11x+78$来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量 $y$（个 $)$与每个商品的售价 $x$（元 $)$满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售价 $x$（元 $)$	$\dots$	30	40	50	$\dots$
每天的销售量 $y$（个 $)$	$\dots$	100	80	60	$\dots$

（1）求 $y$与 $x$之间的函数表达式；

（2）设商场每天获得的总利润为 $w$（元 $)$，求 $w$与 $x$之间的函数表达式；

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体 $\mathit{ACB}$ 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，杯口直径 $\mathit{AB}=4$ ，且点 $A$ ， $B$ 关于 $y$ 轴对称，杯脚高 $\mathit{CO}=4$ ，杯高 $\mathit{DO}=8$ ，杯底 $\mathit{MN}$ 在 $x$ 轴上．

（1）求杯体 $\mathit{ACB}$ 所在抛物线的函数表达式（不必写出 $x$ 的取值范围）；

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 $A\text{'}\mathit{CB}\text{'}$ 所在抛物线形状不变，杯口直径 $A\text{'}B\text{'}//\mathit{AB}$ ，杯脚高 $\mathit{CO}$ 不变，杯深 $\mathit{CD}\text{'}$ 与杯高 $\mathit{OD}\text{'}$ 之比为0.6，求 $A\text{'}B\text{'}$ 的长．

今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．

（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；

（2）若该景区仅有 $A$ ， $B$ 两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式	甲	乙	丙
可游玩景点	$A$	$B$	$A$ 和     $B$
门票价格	100元     $/$ 人	80元     $/$ 人	160元     $/$ 人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？

某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．

（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？

某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元 $/$千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 $y$（千克）与销售单价 $x$（元 $/$千克）之间的函数关系如图所示．

（1）求 $y$与 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长 $80m$，宽 $60m$的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于 $36m$，不大于 $44m$，预计活动区造价60元 $/m^2$，绿化区造价50元 $/m^2$，设绿化区域较长直角边为 $\mathit{xm}$．

（1）用含 $x$的代数式表示出口的宽度；

（2）求工程总造价 $y$与 $x$的函数关系式，并直接写出 $x$的取值范围；

（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出 $x$为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．

（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化 $11m^2$，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少 $m^2$．

某公司研发了一款成本为60元的保温饭盒，投放市场进行试销售，按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润不高于 $65\%$，市场调研发现，保温饭盒每天的销售数量 $y$（个 $)$与销售单价 $x$（元 $)$满足一次函数关系；当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个（利润率 $=\frac{\mathit{利润}}{\mathit{成本}}\times 100\backslash \%)$

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，公司每天获得利润最大，最大利润为多少元？

某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品	每件售价（万元）	每件成本（万元）	每年其他费用（万元）	每年最大产销量（件）
甲	6	a	20	200
乙	20	10	40+0.05x^2	80

其中a为常数，且 $3\le a\le 5$。

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y₁万元、y₂万元，直接写出y₁、y₂与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．