初中数学二次函数的应用解答题

如图，在等腰直角三角形中，，，于点，点从点出发，沿方向以的速度运动到点停止，在运动过程中，过点作交于点，以线段为边作等腰直角三角形，且（点，位于异侧）．设点的运动时间为，与重叠部分的面积为

（1）当点落在上时，　　；

（2）当点落在上时，　　；

（3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

【观察】 $1\times 49=49$， $2\times 48=96$， $3\times 47=141$， $\dots$， $23\times 27=621$， $24\times 26=624$， $25\times 25=625$， $26\times 24=624$， $27\times 23=621$， $\dots$， $47\times 3=141$， $48\times 2=96$， $49\times 1=49$．

【发现】根据你的阅读回答问题：

（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为　　；

（2）设参与上述运算的第一个因数为 $a$，第二个因数为 $b$，用等式表示 $a$与 $b$的数量关系是　　．

【类比】观察下列两数的积： $1\times 59$， $2\times 58$， $3\times 57$， $4\times 56$， $\dots$， $m\times n$， $\dots$， $56\times 4$， $57\times 3$， $58\times 2$， $59\times 1$．

猜想 $\mathit{mn}$的最大值为　　，并用你学过的知识加以证明．

用承重指数衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数与木板厚度（厘米）的平方成正比，当时，．

（1）求与的函数关系式．

（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为（厘米），．

①求与的函数关系式；

②为何值时，是的3倍？注：（1）及（2）中的①不必写的取值范围

某游乐场的圆形喷水池中心 $O$ 有一雕塑 $\mathit{OA}$ ，从 $A$ 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为 $x$ 轴，点 $O$ 为原点建立直角坐标系，点 $A$ 在 $y$ 轴上， $x$ 轴上的点 $C$ ， $D$ 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 $y=-\frac{1}{6}{(x-5)}^2+6$ ．

（1）求雕塑高 $\mathit{OA}$ ．

（2）求落水点 $C$ ， $D$ 之间的距离．

（3）若需要在 $\mathit{OD}$ 上的点 $E$ 处竖立雕塑 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{OE}=10m$ ， $\mathit{EF}=1.8m$ ， $\mathit{EF}\perp \mathit{OD}$ ．问：顶部 $F$ 是否会碰到水柱？请通过计算说明．

某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500＋30x，P＝170－2x．
（1）当日产量为多少时，，？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价 $y$（元 $/$件）与批发数量 $x$（件 $\left)\right(x$为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．

（1）求 $y$与 $x$之间所满足的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（2）设服装厂所获利润为 $w$（元 $)$，若 $10⩽x⩽50(x$为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？

据专家分析，一般成人喝半斤低度白酒后，1．5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x²+400x刻画；1．5小时后（包括1．5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．

（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

知识背景

当 $a>0$且 $x>0$时，因为 ${(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}})}^2⩾0$，所以 $x-2\sqrt{a}+\frac{a}{x}⩾0$，从而 $x+\frac{a}{x}⩾2\sqrt{a}$（当 $x=\sqrt{a}$时取等号）．

设函数 $y=x+\frac{a}{x}(a>0,x>0)$，由上述结论可知：当 $x=\sqrt{a}$时，该函数有最小值为 $2\sqrt{a}$．

应用举例

已知函数为 $y_1=x(x>0)$与函数 $y_2=\frac{4}{x}(x>0)$，则当 $x=\sqrt{4}=2$时， $y_1+y_2=x+\frac{4}{x}$有最小值为 $2\sqrt{4}=4$．

解决问题

（1）已知函数 $y_1=x+3(x>-3)$与函数 $y_2={(x+3)}^2+9(x>-3)$，当 $x$取何值时， $\frac{y_2}{y_1}$有最小值？最小值是多少？

（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为 $x$天，则当 $x$取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？

小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体 $\mathit{ACB}$ 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，杯口直径 $\mathit{AB}=4$ ，且点 $A$ ， $B$ 关于 $y$ 轴对称，杯脚高 $\mathit{CO}=4$ ，杯高 $\mathit{DO}=8$ ，杯底 $\mathit{MN}$ 在 $x$ 轴上．

（1）求杯体 $\mathit{ACB}$ 所在抛物线的函数表达式（不必写出 $x$ 的取值范围）；

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 $A\text{'}\mathit{CB}\text{'}$ 所在抛物线形状不变，杯口直径 $A\text{'}B\text{'}//\mathit{AB}$ ，杯脚高 $\mathit{CO}$ 不变，杯深 $\mathit{CD}\text{'}$ 与杯高 $\mathit{OD}\text{'}$ 之比为0.6，求 $A\text{'}B\text{'}$ 的长．

今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．

（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；

（2）若该景区仅有 $A$ ， $B$ 两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

购票方式	甲	乙	丙
可游玩景点	$A$	$B$	$A$ 和     $B$
门票价格	100元     $/$ 人	80元     $/$ 人	160元     $/$ 人

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．

①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；

②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？

某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．

（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？

某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元 $/$千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 $y$（千克）与销售单价 $x$（元 $/$千克）之间的函数关系如图所示．

（1）求 $y$与 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长 $80m$，宽 $60m$的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于 $36m$，不大于 $44m$，预计活动区造价60元 $/m^2$，绿化区造价50元 $/m^2$，设绿化区域较长直角边为 $\mathit{xm}$．

（1）用含 $x$的代数式表示出口的宽度；

（2）求工程总造价 $y$与 $x$的函数关系式，并直接写出 $x$的取值范围；

（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出 $x$为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．

（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化 $11m^2$，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少 $m^2$．

某公司研发了一款成本为60元的保温饭盒，投放市场进行试销售，按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润不高于 $65\%$，市场调研发现，保温饭盒每天的销售数量 $y$（个 $)$与销售单价 $x$（元 $)$满足一次函数关系；当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个（利润率 $=\frac{\mathit{利润}}{\mathit{成本}}\times 100\backslash \%)$

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，公司每天获得利润最大，最大利润为多少元？

某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品	每件售价（万元）	每件成本（万元）	每年其他费用（万元）	每年最大产销量（件）
甲	6	a	20	200
乙	20	10	40+0.05x^2	80

其中a为常数，且 $3\le a\le 5$。

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y₁万元、y₂万元，直接写出y₁、y₂与x的函数关系式；

（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；

（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．