初中数学全等三角形的判定与性质解答题

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{EF}$过点 $O$且与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$分别相交于点 $E$、 $F$，连接 $\mathit{EC}$．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$；

（2）若 $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{\Delta BEC}$的周长是10，求 $▱\mathit{ABCD}$的周长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $\mathit{AB}=4\mathit{cm}$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $2\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AB}$ 向点 $B$ 匀速运动，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$ ，交折线 $\mathit{AC}-\mathit{CB}$ 于点 $Q$ ，以 $\mathit{PQ}$ 为边作等边三角形 $\mathit{PQD}$ ，使点 $A$ ， $D$ 在 $\mathit{PQ}$ 异侧．设点 $P$ 的运动时间为 $x\left(s\right)(0<x<2)$ ， $\mathit{\Delta PQD}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠部分图形的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$ ．

（1） $\mathit{AP}$ 的长为 　 　 $\mathit{cm}$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

（2）当点 $D$ 落在边 $\mathit{BC}$ 上时，求 $x$ 的值．

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形， $M$为 $\mathit{BC}$上一点，连接 $\mathit{AM}$，延长 $\mathit{AD}$至点 $E$，使得 $\mathit{AE}=\mathit{AM}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AM}$，垂足为 $F$，求证： $\mathit{AB}=\mathit{EF}$．

【感知】如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle D=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上， $\angle \mathit{AEB}=90°$ ，求证： $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CB}}$ ．

【探究】如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle \mathit{ADC}=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上，点 $F$ 在边 $\mathit{AD}$ 的延长线上， $\angle \mathit{FEG}=\angle \mathit{AEB}=90°$ ，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{EG}}=\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}$ ，连接 $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $H$ ．

求证： $\mathit{BH}=\mathit{GH}$ ．

【拓展】如图③，点 $E$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 内， $\angle \mathit{AEB}$ 十 $\angle \mathit{DEC}=180°$ ，且 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ ，过 $E$ 作 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，若 $\angle \mathit{EFA}=\angle \mathit{AEB}$ ，延长 $\mathit{FE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．求证： $\mathit{BG}=\mathit{CG}$ ．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}$为钝角， $\angle B=45°$，点 $P$是边 $\mathit{BC}$延长线上一点，以点 $C$为顶点， $\mathit{CP}$为边，在射线 $\mathit{BP}$下方作 $\angle \mathit{PCF}=\angle B$．

（1）在射线 $\mathit{CF}$上取点 $E$，连接 $\mathit{AE}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $D$．

①如图1，若 $\mathit{AD}=\mathit{DE}$，请直接写出线段 $A$与 $\mathit{CE}$的数量关系和位置关系；

②如图2，若 $\mathit{AD}=\sqrt{2}\mathit{DE}$，判断线段 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CE}$的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图3，反向延长射线 $\mathit{CF}$，交射线 $\mathit{BA}$于点 $C\text{'}$，将 $\angle \mathit{PCF}$沿 $\mathit{CC}\text{'}$方向平移，使顶点 $C$落在点 $C\text{'}$处，记平移后的 $\angle \mathit{PCF}$为 $\angle P\text{'}C\text{'}F\text{'}$，将 $\angle P\text{'}C\text{'}F\text{'}$绕点 $C\text{'}$顺时针旋转角 $\alpha (0°<\alpha <45°)$， $C\text{'}F\text{'}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $M$， $C\text{'}P\text{'}$交射线 $\mathit{BP}$于点 $N$，请直接写出线段 $\mathit{BM}$， $\mathit{MN}$与 $\mathit{CN}$之间的数量关系．

如图，已知 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}=\mathit{CF}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta DCE}$ ；

（2） $\mathit{AF}//\mathit{DE}$ ．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上的两点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ．连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{DF}$ ， $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BF}$ ．

（1）证明： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CBF}$ ．

（2）若 $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$ ， $\mathit{AE}=2$ ，求四边形 $\mathit{BEDF}$ 的周长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta OAD}$为等腰直角三角形，延长 $\mathit{OA}$至点 $B$使 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{ABCD}$是矩形，其对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAF}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$的值．

如图， $\mathit{BD}//\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}=\mathit{BC}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{BE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\angle D=\angle \mathit{ABC}$ ．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，点 $E$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $F$ 在同一直线上， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CBF}$ ；

（2） $\mathit{ED}//\mathit{BF}$ ．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，过 $B$点作 $\mathit{BM}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $M$，过 $D$点作 $\mathit{DN}\perp \mathit{AC}$于点 $F$，交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BMDN}$是平行四边形；

（2）已知 $\mathit{AF}=12$， $\mathit{EM}=5$，求 $\mathit{AN}$的长．

在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{BD}$上一点，点 $F$， $G$在直线 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{EG}$， $\angle \mathit{AEF}=\angle \mathit{BEG}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta FGE}$；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=120°$时，求证： $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{BF}$；

（3）如图3，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $F$在线段 $\mathit{BC}$上时，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）