初中数学全等三角形的判定与性质解答题

在等腰 $\mathit{\Delta ADC}$ 和等腰 $\mathit{\Delta BEC}$ 中， $\angle \mathit{ADC}=\angle \mathit{BEC}=90°$ ， $\mathit{BC}<\mathit{CD}$ ，将 $\mathit{\Delta BEC}$ 绕点 $C$ 逆时针旋转，连接 $\mathit{AB}$ ，点 $O$ 为线段 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{DO}$ ， $\mathit{EO}$ ．

（1）如图1，当点 $B$ 旋转到 $\mathit{CD}$ 边上时，请直接写出线段 $\mathit{DO}$ 与 $\mathit{EO}$ 的位置关系和数量关系；

（2）如图2，当点 $B$ 旋转到 $\mathit{AC}$ 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若 $\mathit{BC}=4$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{6}$ ，在 $\mathit{\Delta BEC}$ 绕点 $C$ 逆时针旋转的过程中，当 $\angle \mathit{ACB}=60°$ 时，请直接写出线段 $\mathit{OD}$ 的长．

在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$、 $F$分别是 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$上的点，将平行四边形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{EF}$所在直线翻折，使点 $B$与点 $D$重合，且点 $A$落在点 $A\text{'}$处．

（1）求证：△ $A\text{'}\mathit{ED}\cong \mathit{\Delta CFD}$；

（2）连接 $\mathit{BE}$，若 $\angle \mathit{EBF}=60°$， $\mathit{EF}=3$，求四边形 $\mathit{BFDE}$的面积．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k>0)$ ，点 $E$ 是线段 $\mathit{CB}$ 延长线上的一个动点，连接 $\mathit{AE}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AF}\perp \mathit{AE}$ 交射线 $\mathit{DC}$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若 $k=1$ ，则 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{AE}$ 之间的数量关系是 　 　；

（2）如图2，若 $k\ne 1$ ，试判断 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{AE}$ 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含 $k$ 的式子表示）

（3）若 $\mathit{AD}=2\mathit{AB}=4$ ，连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{EG}$ ，当 $\mathit{CF}=1$ 时，求 $\mathit{EG}$ 的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAD}$和 $\angle \mathit{DCB}$的平分线 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CF}$分别交 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$于点 $E$、 $F$，点 $M$、 $N$分别为 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CF}$的中点，连接 $\mathit{FM}$、 $\mathit{EN}$，试判断 $\mathit{FM}$和 $\mathit{EN}$的数量关系和位置关系，并加以证明．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形，点 $F$ 是射线 $\mathit{AD}$ 上的动点，连接 $\mathit{CF}$ ，以 $\mathit{CF}$ 为对角线作正方形 $\mathit{CGFE}(C$ ， $G$ ， $F$ ， $E$ 按逆时针排列），连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{DG}$ ．

（1）当点 $F$ 在线段 $\mathit{AD}$ 上时．

①求证： $\mathit{BE}=\mathit{DG}$ ；

②求证： $\mathit{CD}-\mathit{FD}=\sqrt{2}\mathit{BE}$ ；

（2）设正方形 $\mathit{ABCD}$ 的面积为 $S_1$ ，正方形 $\mathit{CGFE}$ 的面积为 $S_2$ ，以 $C$ ， $G$ ， $D$ ， $F$ 为顶点的四边形的面积为 $S_3$ ，当 $\frac{S_2}{S_1}=\frac{13}{25}$ 时，请直接写出 $\frac{S_3}{S_1}$ 的值．

如图，在圆 $O$ 中，弦 $\mathit{AB}$ 等于弦 $\mathit{CD}$ ，且相交于点 $P$ ，其中 $E$ 、 $F$ 为 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 中点．

（1）证明： $\mathit{OP}\perp \mathit{EF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{CE}$ ，若 $\mathit{AF}//\mathit{OP}$ ，证明：四边形 $\mathit{AFEC}$ 为矩形．

如图①， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta CDE}$是等腰直角三角形，直角边 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CD}$在同一条直线上，点 $M$、 $N$分别是斜边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DE}$的中点，点 $P$为 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$．

（1）猜想 $\mathit{PM}$与 $\mathit{PN}$的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的 $\mathit{\Delta CDE}$绕着点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到图②， $\mathit{AE}$与 $\mathit{MP}$、 $\mathit{BD}$分别交于点 $G$、 $H$．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 $\mathit{BC}=\mathit{kAC}$， $\mathit{CD}=\mathit{kCE}$，如图③，写出 $\mathit{PM}$与 $\mathit{PN}$的数量关系，并加以证明．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta OAD}$为等腰直角三角形，延长 $\mathit{OA}$至点 $B$使 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{ABCD}$是矩形，其对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAF}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{AF}}$的值．

如图， $\mathit{BD}//\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}=\mathit{BC}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{BE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\angle D=\angle \mathit{ABC}$ ．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，点 $E$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $F$ 在同一直线上， $\mathit{AE}=\mathit{CF}$ ．

求证：（1） $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CBF}$ ；

（2） $\mathit{ED}//\mathit{BF}$ ．

如图，已知 $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}=\mathit{AC}$．求证： $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCA}$．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，过 $B$点作 $\mathit{BM}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $M$，过 $D$点作 $\mathit{DN}\perp \mathit{AC}$于点 $F$，交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BMDN}$是平行四边形；

（2）已知 $\mathit{AF}=12$， $\mathit{EM}=5$，求 $\mathit{AN}$的长．

在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为对角线 $\mathit{BD}$上一点，点 $F$， $G$在直线 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{EG}$， $\angle \mathit{AEF}=\angle \mathit{BEG}$．

（1）如图1，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta FGE}$；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=120°$时，求证： $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{BF}$；

（3）如图3，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $F$在线段 $\mathit{BC}$上时，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）