如图,四边形 是平行四边形, ,且分别交对角线 于点 , ,连接 , .
(1)求证: ;
(2)若 ,求证:四边形 为菱形.
如图,在平行四边形 中,对角线 , 相交于点 ,分别过点 , 作 , ,垂足分别为 , . 平分 .
(1)若 ,求 的度数;
(2)求证: .
如图所示, 是 的直径, 和 分别切 于 , 两点, 与 有公共点 ,且 .
(1)求证: 是 的切线;
(2)若 , ,求 的长.
综合与实践
问题情境:
如图①,点 为正方形 内一点, ,将 绕点 按顺时针方向旋转 ,得到 (点 的对应点为点 .延长 交 于点 ,连接 .
猜想证明:
(1)试判断四边形 的形状,并说明理由;
(2)如图②,若 ,请猜想线段 与 的数量关系并加以证明;
解决问题:
(3)如图①,若 , ,请直接写出 的长.
如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大厦的高 .他俩在小明家的窗台 处,测得商业大厦顶部 的仰角 的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在 处测得商业大厦底部 的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台 处测得大厦底部 的俯角 的度数,竟然发现 与 恰好相等.已知 , , 三点共线, , , , ,试求商业大厦的高 .
在 中, , 交 的延长线于点 .
特例感知:
(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为 ,一条直角边与 重合,另一条直角边恰好经过点 .通过观察、测量 与 的长度,得到 .请给予证明.
猜想论证:
(2)当三角尺沿 方向移动到图2所示的位置时,一条直角边仍与 边重合,另一条直角边交 于点 ,过点 作 垂足为 .此时请你通过观察、测量 、 与 的长度,猜想并写出 、 与 之间存在的数量关系,并证明你的猜想.
联系拓展:
(3)当三角尺在图2的基础上沿 方向继续移动到图3所示的位置(点 在线段 上,且点 与点 不重合)时,请你判断(2)中的猜想是否仍然成立?(不用证明)
已知 的两边分别与 相切于点 , , 的半径为 .
(1)如图1,点 在点 , 之间的优弧上, ,求 的度数;
(2)如图2,点 在圆上运动,当 最大时,要使四边形 为菱形, 的度数应为多少?请说明理由;
(3)若 交 于点 ,求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含 的式子表示).
如图,在平行四边形 中, ,点 是 的中点,连接 并延长,交 的延长线于点 ,连接 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 , ,求菱形 的面积.
【发现】如图①,已知等边 ,将直角三角板的 角顶点 任意放在 边上(点 不与点 、 重合),使两边分别交线段 、 于点 、 .
(1)若 , , ,则 ;
(2)求证: .
【思考】若将图①中的三角板的顶点 在 边上移动,保持三角板与边 、 的两个交点 、 都存在,连接 ,如图②所示,问:点 是否存在某一位置,使 平分 且 平分 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
【探索】如图③,在等腰 中, ,点 为 边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点 处(其中 ,使两条边分别交边 、 于点 、 (点 、 均不与 的顶点重合),连接 .设 ,则 与 的周长之比为 (用含 的表达式表示).
试题篮
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