初中数学矩形的性质试题

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$的中点与坐标原点重合，点 $E$是 $x$轴上一点，连接 $\mathit{AE}$．若 $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{OAE}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象经过 $\mathit{AE}$上的两点 $A$， $F$，且 $\mathit{AF}=\mathit{EF}$， $\mathit{\Delta ABE}$的面积为18，则 $k$的值为 $($　　 $)$

A．6B．12C．18D．24

如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 $A$， $B$两点， $P$是线段 $\mathit{AB}$上任意一点（不包括端点），过 $P$分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是 $($　　 $)$

A． $y=x+5$B． $y=x+10$C． $y=-x+5$D． $y=-x+10$

在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=8$， $\mathit{AB}=6$， $E$是边 $\mathit{BC}$上的点，将纸片沿 $\mathit{AE}$折叠，使点 $B$落在点 $F$处，连接 $\mathit{FC}$，当 $\mathit{\Delta EFC}$为直角三角形时， $\mathit{BE}$的长为　　．

如图，有一张长方形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=8\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=10\mathit{cm}$，点 $E$为 $\mathit{CD}$上一点，将纸片沿 $\mathit{AE}$折叠， $\mathit{BC}$的对应边 $B\text{'}C\text{'}$恰好经过点 $D$，则线段 $\mathit{DE}$的长为　　 $\mathit{cm}$．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，点 $A$在第二象限，点 $D$在第一象限， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{OD}=4$，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $O$旋转，使点 $D$落在 $x$轴上，则点 $C$对应点的坐标是 $($　　 $)$

A． $(-\sqrt{3}$， $1)$B． $(-1,\sqrt{3})$

C． $(-1,\sqrt{3})$或 $(1,-\sqrt{3})$D． $(-\sqrt{3}$， $1)$或 $(1,-\sqrt{3})$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ，垂足为点 $E$ ．若 $\sin \angle \mathit{ADE}=\frac{4}{5}$ ， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{AB}$ 的长为 　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=2$，点 $E$、 $F$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{DF}=\frac{3}{2}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$是菱形；

（2）求线段 $\mathit{EF}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}\mathit{cm}$以点 $B$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径画弧，交 $\mathit{CD}$于点 $E$，则图中阴影部分的面积为 　　 $c{m}^2$．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕点 $C$沿顺时针方向旋转 $90°$到矩形 $A\text{'}B\text{'}\mathit{CD}\text{'}$的位置， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=4$，则阴影部分的面积为　　．

如图，已知 $\mathit{BD}$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $\mathit{BD}$的垂直平分线，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$于 $E$、 $F$（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，问四边形 $\mathit{BEDF}$是什么四边形？请说明理由．

如图， 在射线 $\mathit{AB}$上顺次取两点 $C$， $D$，使 $\mathit{AC}=\mathit{CD}=1$，以 $\mathit{CD}$为边作矩形 $\mathit{CDEF}$， $\mathit{DE}=2$，将射线 $\mathit{AB}$绕点 $A$沿逆时针方向旋转， 旋转角记为 $\alpha$（其 中 $0°<\alpha <45°)$，旋转后记作射线 $\mathit{AB}\text{'}$，射线 $\mathit{AB}\text{'}$分别交矩形 $\mathit{CDEF}$的边 $\mathit{CF}$， $\mathit{DE}$于点 $G$， $H$． 若 $\mathit{CG}=x$， $\mathit{EH}=y$，则下列函数图象中， 能反映 $y$与 $x$之间关系的是 $($　　 $)$

A ．B ．

C ．D ．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}$的平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．若 $\mathit{BC}=7$， $\mathit{AE}=4$，则 $\mathit{CE}=$　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$，点 $E$为 $\mathit{BC}$的中点，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿 $\mathit{AE}$折叠，使点 $B$落在矩形内点 $F$处，连接 $\mathit{CF}$，则 $\mathit{CF}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{9}{5}$B． $\frac{12}{5}$C． $\frac{16}{5}$D． $\frac{18}{5}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$， $\mathit{BD}$的垂直平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$，则 $\mathit{\Delta BOF}$的面积为　         　．

问题提出：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1x5$或 $2\times 3$的矩形（ $\mathit{axb}$的矩形指边长分别为 $a$， $b$的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．

探究一：

如图①，当 $n=5$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形．

如图②，当 $n=6$时，可将正方形分割为六个 $2\times 3$的矩形．

如图③，当 $n=7$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图④，当 $n=8$时，可将正方形分割为八个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图⑤，当 $n=9$时，可将正方形分割为九个 $1\times 5$的矩形和六个 $2\times 3$的矩形

探究二：

当 $n=10$，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当 $n=10$，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个 $5\times 5$的正方形、一个 $(n-5)\times (n-5)$的正方形和两个 $5\times (n-5)$的矩形．显然， $5\times 5$的正方形和 $5\times (n-5)$的矩形均可分割为 $1\times 5$的矩形，而 $(n-5)\times (n-5)$的正方形是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

探究三：

当 $n=15$，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当 $n=15$，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个 $10\times 10$的正方形、一个 $(n-10)\times (n-10)$的正方形和两个 $10\times (n-10)$的矩形．显然， $10\times 10$的正方形和 $10\times (n-10)$的矩形均可分割为 $1x5$的矩形，而 $(n-10)\times (n-10)$的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

问题解决：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）