初中数学垂径定理解答题

如图，已知⊙ O的半径为2， AB为直径， CD为弦． AB与 CD交于点 M，将 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 沿 CD翻折后，点 A与圆心 O重合，延长 OA至 P，使 AP＝ OA，连接 PC

（1）求 CD的长；

（2）求证： PC是⊙ O的切线；

（3）点 G为 $\stackrel{̂}{\mathit{ADB}}$ 的中点，在 PC延长线上有一动点 Q，连接 QG交 AB于点 E．交 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 于点 F（ F与 B、 C不重合）．问 GE• GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

如图， $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 交弦（不是直径） $\mathit{CD}$ 于点 $P$ ，且 $P{C}^2=\mathit{PB}·\mathit{PA}$ ，求证： $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$ ．

如图， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，直线 $\mathit{EG}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $E$ ， $\mathit{EG}//\mathit{BC}$ ，连接 $\mathit{AE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线 $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，且 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{DF}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长．

如图， $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AD}$ 是 $\odot O$ 的弦， $\mathit{AD}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $F$ ， $\angle \mathit{AEF}=\angle D$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$ ；

（2）点 $G$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，连接 $\mathit{AG}$ ， $\angle \mathit{DAG}=2\angle D$ ．

①求证： $\mathit{AG}$ 与 $\odot O$ 相切；

②当 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{BF}}=\frac{2}{5}$ ， $\mathit{CE}=4$ 时，直接写出 $\mathit{CG}$ 的长．

四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$ ．

（1）如图1，求证 $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{ACD}$ ；

（2）过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线，交 $\mathit{BC}$ 延长线于点 $P$ （如图 $2)$ ．若 $\tan \angle \mathit{CAB}=\frac{5}{12}$ ， $\mathit{BC}=1$ ，求 $\mathit{PD}$ 的长．

如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分．

（1）求证：为的切线．

（2）若，，求的半径．

定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．

（1）下面四边形是垂等四边形的是 　 　；（填序号）

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

（2）图形判定：如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 垂线交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\angle \mathit{DBC}=45°$ ，证明：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是垂等四边形．

（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ 中， $\angle \mathit{BCD}=60°$ ．求 $\odot O$ 的半径．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}a$ ， $\angle \mathit{ABC}=60$ ，过点 $B$ 的 $\odot O$ 与边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 分别交于 $E$ ， $F$ 两点． $\mathit{OG}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $G$ ， $\mathit{OG}=a$ ．连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{OE}$ ， $\mathit{OF}$ ．

（1）若 $\mathit{BF}=2a$ ，试判断 $\mathit{\Delta BOF}$ 的形状，并说明理由；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$ ，求证： $\odot O$ 与 $\mathit{AD}$ 相切于点 $A$ ．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $E$ ， $C$ 是 $\odot O$ 上两点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{EC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ ，连接 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{AC}$ ．过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ 交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）判定直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{CD}=\sqrt{3}$ ，求图中阴影部分的面积．

如图，是的直径，点为上一点，点是半径上一动点（不与，重合），过点作射线，分别交弦，于，两点，在射线上取点，使．

（1）求证：是的切线；

（2）当点是的中点时，

①若，判断以，，，为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若，且，求的长．

如图，在中，是直径，是弦，，连接交于点，．

（1）求证：是的切线．

（2）过点作于，交于，已知，，求的长．

如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．

（1）求证：①是的切线；

②；

（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．

如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求直径的长．

如图，是的直径，切于点，切于点，且．

（1）求的度数；

（2）若，求点到弦的距离．

如图，已知是的直径，，是的弦，交于，过点作的切线交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求线段的长．