初中数学圆的综合题解答题

如图， $C$、 $D$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上的点， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$，弦 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）当 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线时，求证： $\angle \mathit{PBD}=\angle \mathit{DAB}$；

（2）求证： $B{C}^2-C{E}^2=\mathit{CE}·\mathit{DE}$；

（3）已知 $\mathit{OA}=4$， $E$是半径 $\mathit{OA}$的中点，求线段 $\mathit{DE}$的长．

已知：如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=4$，点 $F$， $C$是 $\odot O$上两点，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AF}$， $\mathit{OC}$，弦 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{FAB}$， $\angle \mathit{BOC}=60°$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AF}$交 $\mathit{AF}$的延长线于点 $D$，垂足为点 $D$．

（1）求扇形 $\mathit{OBC}$的面积（结果保留 $\pi )$；

（2）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线．

如图，动点 $M$在以 $O$为圆心， $\mathit{AB}$为直径的半圆弧上运动（点 $M$不与点 $A$、 $B$及 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点 $F$重合），连接 $\mathit{OM}$．过点 $M$作 $\mathit{ME}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，以 $\mathit{BE}$为边在半圆同侧作正方形 $\mathit{BCDE}$，过点 $M$作 $\odot O$的切线交射线 $\mathit{DC}$于点 $N$，连接 $\mathit{BM}$、 $\mathit{BN}$．

（1）探究：如图一，当动点 $M$在 $\stackrel{̂}{\mathit{AF}}$上运动时；

①判断 $\mathit{\Delta OEM}\backsim \mathit{\Delta MDN}$是否成立？请说明理由；

②设 $\frac{\mathit{ME}+\mathit{NC}}{\mathit{MN}}=k$， $k$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

③设 $\angle \mathit{MBN}=\alpha$， $\alpha$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

（2）拓展：如图二，当动点 $M$在 $\stackrel{̂}{\mathit{FB}}$上运动时；

分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$是 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{OE}$交 $\mathit{CD}$于点 $F$．

（1）若 $\angle \mathit{BCD}=36°$， $\mathit{BC}=10$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长；

（2）判断直线 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（3）求证： $2C{E}^2=\mathit{AB}·\mathit{EF}$．

如图，点 $A$是 $\odot O$直径 $\mathit{BD}$延长线上的一点， $C$在 $\odot O$上， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=\mathit{CD}$

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为2，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

（2） $\because \tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $\mathit{BC}=2$，

$\therefore \mathit{AB}=\mathit{BC}·\tan \angle \mathit{ACB}=\sqrt{2}$，

$\therefore \mathit{AC}=\sqrt{6}$；

又 $\because \angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}$，

$\therefore \tan \angle \mathit{DCE}=\tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，

$\therefore \mathit{DE}=\mathit{DC}·\tan \angle \mathit{DCE}=1$；

方法一：在 $\text{Rt}\Delta \text{CDE}$中， $\mathit{CE}=\sqrt{C{D}^2+D{E}^2}=\sqrt{3}$，

连接 $\mathit{OE}$，设 $\odot O$的半径为 $r$，则在 $\text{Rt}\Delta \text{COE}$中， $C{O}^2=O{E}^2+C{E}^2$，即 ${(\sqrt{6}-r)}^2=r^2+3$

解得： $r=\frac{\sqrt{6}}{4}$

方法二： $\mathit{AE}=\mathit{AD}-\mathit{DE}=1$，过点 $O$作 $\mathit{OM}\perp \mathit{AE}$于点 $M$，则 $\mathit{AM}=\frac{1}{2}\mathit{AE}=\frac{1}{2}$

在 $\text{Rt}\Delta \text{AMO}$中， $\mathit{OA}=\frac{\mathit{AM}}{\cos \angle \mathit{EAO}}=\frac{1}{2}÷\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于圆 $O$， $\angle \mathit{BAD}=90°$， $\mathit{AC}$为直径，过点 $A$作圆 $O$的切线交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $E$，过 $\mathit{AC}$的三等分点 $F$（靠近点 $C)$作 $\mathit{CE}$的平行线交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{CD}$；

（2）求证： $C{D}^2=\mathit{BE}\cdot \mathit{BC}$；

（3）当 $\mathit{CG}=\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=\frac{9}{2}$时，求 $\mathit{CD}$的长．

如图， $\mathit{BM}$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$的切线， $B$为切点， $\mathit{BC}$平分 $\angle \mathit{ABM}$，弦 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{DE}=\mathit{OE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ACB}$是等腰直角三角形；

（2）求证： $O{A}^2=\mathit{OE}·\mathit{DC}$；

（3）求 $\tan \angle \mathit{ACD}$的值．

如图，已知 $\mathit{AO}$为 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的角平分线， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=\frac{4}{3}$，以 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径的圆分别交 $\mathit{AO}$， $\mathit{BC}$于点 $D$， $E$，连接 $\mathit{ED}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\tan \angle \mathit{CAO}$的值；

（3）求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{CF}}$的值．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AC}$，过 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$上一点 $E$作 $\mathit{EG}//\mathit{AC}$交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $G$，连接 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CD}$于点 $F$，且 $\mathit{EG}=\mathit{FG}$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ECF}\backsim \mathit{\Delta GCE}$；

（2）求证： $\mathit{EG}$是 $\odot O$的切线；

（3）延长 $\mathit{AB}$交 $\mathit{GE}$的延长线于点 $M$，若 $\tan G=\frac{3}{4}$， $\mathit{AH}=3\sqrt{3}$，求 $\mathit{EM}$的值．

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $P$是 $\mathit{AB}$延长线上的一点，过点 $P$作 $\odot O$的切线，切点为 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{BCP}$．

（2）若点 $P$在 $\mathit{AB}$的延长线上运动， $\angle \mathit{CPA}$的平分线交 $\mathit{AC}$于点 $D$，你认为 $\angle \mathit{CDP}$的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若没有变化，求出 $\angle \mathit{CDP}$的大小．

如图，点 $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$上一点，以 $\mathit{OB}$为半径的 $\odot O$与边 $\mathit{AC}$相切于点 $E$，与边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$分别相交于点 $D$， $F$，且 $\mathit{DE}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $\angle C=90°$；

（2）当 $\mathit{BC}=3$， $\sin A=\frac{3}{5}$时，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}$为直角， $\mathit{OA}=6$， $\mathit{OB}=8$，半径为2的动圆圆心 $Q$从点 $O$出发，沿着 $\mathit{OA}$方向以1个单位长度 $/$秒的速度匀速运动，同时动点 $P$从点 $A$出发，沿着 $\mathit{AB}$方向也以1个单位长度 $/$秒的速度匀速运动，设运动时间为 $t$秒 $(0<t⩽5)$以 $P$为圆心， $\mathit{PA}$长为半径的 $\odot P$与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{OA}$的另一个交点分别为 $C$、 $D$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{QC}$．

（1）当 $t$为何值时，点 $Q$与点 $D$重合？

（2）当 $\odot Q$经过点 $A$时，求 $\odot P$被 $\mathit{OB}$截得的弦长．

（3）若 $\odot P$与线段 $\mathit{QC}$只有一个公共点，求 $t$的取值范围．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $A$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BDC}}$的中点， $\mathit{AE}\perp \mathit{AC}$于 $A$，与 $\odot O$及 $\mathit{CB}$的延长线交于点 $F$、 $E$，且 $\stackrel{̂}{\mathit{BF}}=\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADC}\backsim \mathit{\Delta EBA}$；

（2）如果 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\tan \angle \mathit{CAD}$的值．

如图，已知 $\odot O$的半径为 $6\mathit{cm}$，射线 $\mathit{PM}$经过点 $O$， $\mathit{OP}=10\mathit{cm}$，射线 $\mathit{PN}$与 $\odot O$相切于点 $Q$． $A$、 $B$两点同时从点 $P$出发，点 $A$以 $5\mathit{cm}/s$的速度沿射线 $\mathit{PM}$方向运动，点 $B$以 $4\mathit{cm}/s$的速度沿射线 $\mathit{PN}$方向运动，设运动时间为 $\mathit{ts}$．

（1）求 $\mathit{PQ}$的长；

（2）当直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切时，求证： $\mathit{AB}\perp \mathit{PN}$；

（3）当 $t$为何值时，直线 $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切？