初中数学相似多边形的性质解答题

如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，且∠DAC=∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

（本题10分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．

（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A₂B₂C₂，使，并写出点A₂的坐标.

（本小题满分8分）（1）阅读理解
已知：如图1，△ABC中，AD是中线，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F．求证：EF∥BC．

证明：如图2，EF交AD于G,过P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，
在△ABD中，由PM∥BD，得到，同理，
因为BD=CD,所以PM=PN．
在△FBC中，由PM∥BC,所以同理，
，所以△EPF∽△CPB，所以∠FEP=∠PBC，所以EF∥BC．
（2）逆向思考
在△ABC中，D在BC上，点P在AD上，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F，如果EF∥BC．那么D是BC中点．请你给出证明．
（3）知识应用
①如图3直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，AB在直线g上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出线段AB的中点．并作简要的画图说明．
②如图4直线a、b、c、d、e、f、g、h是等距的一组平行线，点P不在这些直线上，点A在直线g上，点B在直线c上，请你用无刻度的直尺利用现有平行线作出过点P的直线PQ平行于AB．并作简要的画图说明．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．
求证：（1）DE为⊙O的切线.
（2）AB•DF=AC•BF．

如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

已知==，求的值．

如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．

（1）求证：=AB·AD；
（2）若AD=4，AB=6，求的值．

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角的大小等于∠ABC，分别过点C、A作直线l的垂线，垂足分别为点D、E

（1）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；
（2）当△ABC的位置旋转到图2或图3时，设直线CE、AB交于点F，且，CD=4，请你在图2和图3中任选一种情况，求此时BD的长．

在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）结合图2，通过观察、测量、猜想：=______，并证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若AC=8，BD=6，直接写出的值．

（满分10分）如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
(1)试说明：AD⊥DC；
(2)若AD＝1，AC＝，求AB的长．

如图，△ABC是等边三角形，⊙O过点B，C，且与BA，CA的延长线分别交于点D，E，弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G．
（1）求证：△BEF是等边三角形；
（2）若BA=4，CG=2，求BF的长．

如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．

如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．