初中数学相似多边形的性质解答题

如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连结OM、ON、BM、BN．

（1）求证：△AOM∽△DMN；
（2）求∠MBN的度数．

如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C．

（1）在图中作出△ABC的内角平分线AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）
（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由．

如图，AB为⊙O的直径，劣弧，BD∥CE，连接AE并延长交BD于D．求证：

（1）AC=AE；
（2）AB²=AC•AD．

如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是上的一点，且，交于E，点F是延长线上的点，，，．

（1）求证≌；
（2）求证；
（3）求和的长．

如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．求证：△ABC∽△POA．

在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时：
①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；
②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，则     ．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．

（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；
（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）

如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A₁B₁C₁．

（1）△ABC与△A₁B₁C₁的位似比等于    ；
（2）在网格中画出△A₁B₁C₁关于y轴的轴对称图形△A₂B₂C₂；
（3）请写出△A₁B₁C₁是由△A₂B₂C₂怎样平移得到的？
（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为                           ．

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值；
（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？
（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．
如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA₁平分∠ABC交AC于A₁．

（1）=AA₁•A C；
（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）
（3）应用：已知AC=a，作A₁B₁∥AB交BC于B₁，B₁A₂平分∠A₁B₁C交AC于A₂，作A₂B₂∥AB交B₂，B₂A₃平分∠A₂B₂C交AC于A₃，作A₃B₃∥AB交BC于B₃，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A_n﹣1A_n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）

两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm²）．

（1）当点C落在边EF上时，x=       cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．

如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，P为BD上一点，∠APB=∠BAD．

（1）AB=CD；
（2）DP•BD=AD•BC；
（3）．

如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．

（1）求证：AC•CD=CP•BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．

如图，直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．