初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部的一点，连接 $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$．

（1）如图1，以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$交 $\mathit{AB}$于点 $Q$，交 $\mathit{AC}$于点 $R$，当点 $P$在 $\stackrel{̂}{\mathit{QR}}$上时，连接 $\mathit{AP}$，在 $\mathit{BC}$边的下方作 $\angle \mathit{BCD}=\angle \mathit{BAP}$， $\mathit{CD}=\mathit{AP}$，连接 $\mathit{DP}$，求 $\angle \mathit{CPD}$的度数；

（2）如图2， $E$是 $\mathit{BC}$边上一点，且 $\mathit{EC}=3\mathit{BE}$，当 $\mathit{BP}=\mathit{CP}$时，连接 $\mathit{EP}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，若 $\sqrt{7}\mathit{AB}=4\mathit{BP}$，求证： $4\mathit{EF}=3\mathit{AB}$；

（3）如图3， $M$是 $\mathit{AC}$边上一点，当 $\mathit{AM}=2\mathit{MC}$时，连接 $\mathit{MP}$．若 $\angle \mathit{CMP}=150°$， $\mathit{AB}=6a$， $\mathit{MP}=\sqrt{3}a$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BCP}$的面积为 $S_2$，求 $S_1-S_2$的值（用含 $a$的代数式表示）．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上， $\mathit{DE}\perp \mathit{AE}$， $\odot O$是 $\text{Rt}\Delta \text{ADE}$的外接圆，交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为5， $\mathit{AC}=8$，求 $S_{\mathit{\Delta BDE}}$．

已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的任意一条直径．

（1）用图1，求证： $\odot O$ 是以直径 $\mathit{AB}$ 所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）已知 $\odot O$ 的面积为 $4\pi$ ，直线 $\mathit{CD}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $D$ ，如图2．

求证：① $\frac{1}{2}B{C}^2=2\mathit{BD}$ ；

②改变图2中切点 $C$ 的位置，使得线段 $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$ 时， $\mathit{OD}=2\sqrt{2}$ ．

【证明体验】

（1）如图1， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线， $\angle \mathit{ADC}=60°$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADB}$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连结 $\mathit{FC}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．若 $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ ， $\mathit{DG}=2$ ， $\mathit{CD}=3$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\angle \mathit{BCA}=2\angle \mathit{DCA}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABC}$ ．若 $\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{5}$ ， $\mathit{AD}=2\mathit{AE}$ ，求 $\mathit{AC}$ 的长．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEFG}$ ，正方形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 旋转一周．

（1）如图①，连接 $\mathit{BG}$ 、 $\mathit{CF}$ ，求 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{BG}}$ 的值；

（2）当正方形 $\mathit{AEFG}$ 旋转至图②位置时，连接 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ ，分别取 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ 的中点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ 、试探究： $\mathit{MN}$ 与 $\mathit{BE}$ 的关系，并说明理由；

（3）连接 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ ，分别取 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ 的中点 $N$ 、 $Q$ ，连接 $\mathit{QN}$ ， $\mathit{AE}=6$ ，请直接写出线段 $\mathit{QN}$ 扫过的面积．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{AB}$ 边上一点（含端点 $A$ 、 $B)$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}$ 垂直于射线 $\mathit{CD}$ ，垂足为 $E$ ，点 $F$ 在射线 $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{EF}=\mathit{BE}$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\backsim \mathit{\Delta CBE}$ ；

（2）如图2，连接 $\mathit{AE}$ ，点 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别为线段 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{EF}$ 的中点，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{MN}$ 、 $\mathit{PN}$ ．求 $\angle \mathit{PMN}$ 的度数及 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{PM}}$ 的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{BC}=\sqrt{2}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta PMN}$ 面积的最大值．

如图所示， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $\odot O$ 上不同的两点，直线 $\mathit{BD}$ 交线段 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $\mathit{CF}$ 于点 $F$ ，若 $\mathit{OC}=3\mathit{CE}$ ，且 $9(E{F}^2-C{F}^2)=O{C}^2$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）连接 $\mathit{OD}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{DC}$ ，若 $\angle \mathit{COD}=2\angle \mathit{BOC}$ ．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta OBE}$ ；

②过点 $E$ 作 $\mathit{EG}//\mathit{AB}$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{AC}$ 的中点，若 $\mathit{AD}=4$ ，求线段 $\mathit{MG}$ 的长度．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{BCD}$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AE}//\mathit{CD}$ ， $\mathit{DE}//\mathit{AB}$ ，作 $\mathit{CF}//\mathit{AD}$ 交线段 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta EAD}$ ；

（2）如图2．若 $\mathit{AB}=9$ ， $\mathit{CD}=5$ ， $\angle \mathit{ECF}=\angle \mathit{AED}$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BF}$ 的延长线经过 $\mathit{AD}$ 的中点 $M$ ，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{EC}}$ 的值．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $E$ 是 $\odot O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $\angle \mathit{EAB}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ ，交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $A{C}^2=2\mathit{AD}\cdot \mathit{AO}$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}$ ，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $M$ ， $\angle \mathit{EBM}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $P$ ， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\angle \mathit{CBM}$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $\angle P=\angle Q$ ．

某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

（1）如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 上的两点，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CF}$ ，则 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CF}}$ 的值为 　　；

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=7$ ， $\mathit{CD}=4$ ，点 $E$ 是 $\mathit{AD}$ 上的一点，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BD}$ ，且 $\mathit{CE}\perp \mathit{BD}$ ，则 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{BD}}$ 的值为 　　；

【类比探究】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle A=\angle B=90°$ ，点 $E$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{DE}$ 的垂线交 $\mathit{ED}$ 的延长线于点 $G$ ，交 $\mathit{AD}$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $\mathit{DE}\cdot \mathit{AB}=\mathit{CF}\cdot \mathit{AD}$ ；

【拓展延伸】

（4）如图4，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=90°$ ， $\mathit{AD}=9$ ， $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{3}$ ，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{BD}$ 翻折，点 $A$ 落在点 $C$ 处得 $\mathit{\Delta CBD}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 上，连接 $\mathit{DE}$ ， $\mathit{CF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{CF}$ ．

①求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CF}}$ 的值；

②连接 $\mathit{BF}$ ，若 $\mathit{AE}=1$ ，写出 $\mathit{BF}$ 的长度．

如图1，点 $C$ 是半圆 $O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 上一动点（不包括端点）， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ 交半圆于点 $D$ ，连结 $\mathit{AD}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CE}//\mathit{AD}$ 交半圆于点 $E$ ，连结 $\mathit{EB}$ ．牛牛想探究在点 $C$ 运动过程中 $\mathit{EC}$ 与 $\mathit{EB}$ 的大小关系．他根据学习函数的经验，记 $\mathit{AC}=\mathit{xcm}$ ， $\mathit{EC}=y_1\mathit{cm}$ ， $\mathit{EB}=y_2\mathit{cm}$ ．请你一起参与探究函数 $y_1$ 、 $y_2$ 随自变量 $x$ 变化的规律．

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．

$x$	$\dots$	0.30	0.80	1.60	2.40	3.20	4.00	4.80	5.60	$\dots$
$y_1$	$\dots$	2.01	2.98	3.46	3.33	2.83	2.11	1.27	0.38	$\dots$
$y_2$	$\dots$	5.60	4.95	3.95	2.96	2.06	1.24	0.57	0.10	$\dots$

（1）当 $x=3$ 时， $y_1=$ 　　．

（2）在图2中画出函数 $y_2$ 的图象，并结合图象判断函数值 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系．

（3）由（2）知" $\mathit{AC}$ 取某值时，有 $\mathit{EC}=\mathit{EB}$ "．如图3，牛牛连结了 $\mathit{OE}$ ，尝试通过计算 $\mathit{EC}$ ， $\mathit{EB}$ 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

如图，锐角三角形 $\mathit{ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线 $\mathit{AG}$ 交 $\odot O$ 于点 $G$ ，交 $\mathit{BC}$ 边于点 $F$ ，连接 $\mathit{BG}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABG}\backsim \mathit{\Delta AFC}$ ．

（2）已知 $\mathit{AB}=a$ ， $\mathit{AC}=\mathit{AF}=b$ ，求线段 $\mathit{FG}$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）．

（3）已知点 $E$ 在线段 $\mathit{AF}$ 上（不与点 $A$ ，点 $F$ 重合），点 $D$ 在线段 $\mathit{AE}$ 上（不与点 $A$ ，点 $E$ 重合）， $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{CBE}$ ，求证： $B{G}^2=\mathit{GE}\cdot \mathit{GD}$ ．

如图1， $D$为 $\odot O$上一点，点 $C$在直径 $\mathit{BA}$的延长线上，且 $\angle \mathit{CDA}=\angle \mathit{CBD}$．

（1）判断直线 $\mathit{CD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ADC}=\frac{1}{2}$， $\mathit{AC}=2$，求 $\odot O$的半径；

（3）如图2，在（2）的条件下， $\angle \mathit{ADB}$的平分线 $\mathit{DE}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连结 $\mathit{BE}$．求 $\sin \angle \mathit{DBE}$的值．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $2\sqrt{5}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{CE}$ 交线段 $\mathit{OA}$ 于点 $F$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{CF}}=\frac{1}{2}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{BE}=\mathit{BC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $F$．将四边形 $\mathit{CBEF}$绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到四边形 $C{B}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}F\text{'}$， $B\text{'}E\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $P$，交 $\mathit{CD}$于点 $K$． $E\text{'}F\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $Q$，连接 $B\text{'}F\text{'}$交 $\mathit{CD}$于点 $O$．

（1）如图1，求证：四边形 $\mathit{BEFC}$是正方形；

（2）如图2，当点 $Q$和点 $D$重合时．

①求证： $\mathit{GC}=\mathit{DC}$；

②若 $\mathit{OK}=1$， $\mathit{CO}=2$，求线段 $\mathit{GP}$的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BM}//F\text{'}B\text{'}$交 $\mathit{GP}$于点 $M$， $\tan \angle G=\frac{1}{2}$，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta GMB}}}{S_{△\mathit{CF}\text{'}H}}$的值．