初中数学解直角三角形解答题

如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的半圆O交BC于点E，DE⊥AB，垂足为D．

（1）求证：点E是BC的中点；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）如果⊙O的直径为9，cosB=，求DE的长．

如图,已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16海里,一艘货轮从B港口以40海里/h的速度沿∠ABC=45°的BC方向航行.现测得C处位于Ａ观测点北偏东79.8°（即∠DAC=79.8°）方向.求此时货轮C与AB之间的最近距离（精确到0.1海里）.

(参考数据：sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50,)

如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．

（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.

（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC.求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sinQ=，BP=6，AP=，求QC的长.

如图，和都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．

（1）求证：；
（2）若是边长可变化的等腰直角三角形，并将绕点旋转，使CE的延长线始终与线段BD（包括端点B、D）相交．当为等腰直角三角形时，求出的值．

如图，△ABC中，AB=5，BC=11，，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC.

（1）当点N恰好落在BC边上时，求NC的长；
（2）若点N在△ABC内部（不含边界），设BP=x，CN=y，求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域；
（3）若△PNC是等腰三角形，求BP的长.

已知A（，0），直线与x轴交于点F，与y轴交于点B，直线l∥AB且交y轴于点C，交x轴于点D，点A关于直线l的对称点为A′，连接AA′、A′D．直线l从AB出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向向上平移，设移动时间为t．

（1）求点A′的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）求证：AB＝AF；
（3）过点C作直线AB的垂线交直线于点E，以点C为圆心CE为半径作⊙C，求当t为何值时，⊙C与△AA′D三边所在直线相切？

点P在图形M上, 点Q在图形N上,记为线段PQ长度的最大值，为线段PQ长度的最小值，图形M，N的平均距离．
（1）在平面直角坐标系中，⊙O是以O为圆心，2的半径的圆，且A，B，求及；(直接写出答案即可)
（2）半径为1的⊙C的圆心C与坐标原点O重合，直线与轴交于点D，与轴交于点F，记线段DF为图形G，求；
（3）在（2）的条件下，如果⊙C的圆心C从原点沿轴向右移动，⊙C的半径不变，且，求圆心C的横坐标．

问题背景: 如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

实践运用： 如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD = 30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，求：PA+ PB的最小值，并写出解答过程．

知识拓展：如图(c)，在菱形ABCD中，AB = 10，∠DAB= 60°，P是对角线AC上一动点，E、F分别是线段AB和BC上的动点，则PE +PF的最小值是     ．（直接写出答案）

有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，
∠FDE=90°，DF=4，DE=。将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。

（1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=       度；

（2）如图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；

（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围。

如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．

（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

问题背景:
如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：
如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为       ．
（2）知识拓展：
如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：

探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．
（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；
（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．
探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．

如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30⁰和60⁰，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据≈1.41，≈1.73）