初中数学解直角三角形的应用试题

如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $\mathit{AD}=2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $\mathit{AB}=\mathit{CD})$ ，将左边的门 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1$ 绕门轴 $A{A}_1$ 向里面旋转 $35°$ ，将右边的门 $\mathit{CD}{D}_1{C}_1$ 绕门轴 $D{D}_1$ 向外面旋转 $45°$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.6$ ， $\cos 35°\approx 0.8$ ， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 $A$，又在河的另一岸边取两点 $B$、 $C$测得 $\angle \alpha =30°$， $\angle \beta =45°$，量得 $\mathit{BC}$长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

人字折叠梯完全打开后如图1所示， $B$， $C$是折叠梯的两个着地点， $D$是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BD}=140\mathit{cm}$， $\angle \mathit{BAC}=40°$，求点 $D$离地面的高度 $\mathit{DE}$．（结果精确到 $0.1\mathit{cm}$；参考数据 $\sin 70°\approx 0.94$， $\cos 70°\approx 0.34$， $\sin 20°\approx 0.34$， $\cos 20°\approx 0.94)$

随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花 $--$兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔 $\mathit{AB}$和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 $\mathit{DE}$和最长的斜拉索 $\mathit{AC}$）均在同一水平面内， $\mathit{BC}$在水平桥面上．已知 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DEB}=45°$， $\angle \mathit{ACB}=30°$， $\mathit{BE}=6$米， $\mathit{AB}=5\mathit{BD}$．

（1）求最短的斜拉索 $\mathit{DE}$的长；

（2）求最长的斜拉索 $\mathit{AC}$的长．

图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 AB与地面 DE平行，踏板 CD长为1.5 m， CD与地面 DE的夹角 $\angle \mathit{CDE}＝15°$ ，支架 AC长为1 m， $\angle \mathit{ACD}＝75°$ ，求跑步机手柄 AB所在直线与地面 DE之间的距离．（结果精确到0.1 m．参考数据： $\mathit{sin}15°\approx 0.26$ ， $\mathit{cos}15°\approx 0.97$ ， $\mathit{tan}15°\approx 0.27$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73$ ）

宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$都与地面 $l$平行，车轮半径为 $32\mathit{cm}$， $\angle \mathit{BCD}=64°$， $\mathit{BC}=60\mathit{cm}$，坐垫 $E$与点 $B$的距离 $\mathit{BE}$为 $15\mathit{cm}$．

（1）求坐垫 $E$到地面的距离；

（2）根据经验，当坐垫 $E$到 $\mathit{CD}$的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 $80\mathit{cm}$，现将坐垫 $E$调整至坐骑舒适高度位置 $E^{\text{'}}$，求 $\mathit{EE}\text{'}$的长．

（结果精确到 $0.1\mathit{cm}$，参考数据： $\sin 64°\approx 0.90$， $\cos 64°\approx 0.44$， $\tan 64°\approx 2.05)$

图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知 $O$， $P$两点固定，连杆 $\mathit{PA}=\mathit{PC}=140\mathit{cm}$， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\mathit{CQ}=\mathit{QA}=60\mathit{cm}$， $\mathit{OQ}=50\mathit{cm}$， $O$， $P$两点间距与 $\mathit{OQ}$长度相等．当 $\mathit{OQ}$绕点 $O$转动时，点 $A$， $B$， $C$的位置随之改变，点 $B$恰好在线段 $\mathit{MN}$上来回运动．当点 $B$运动至点 $M$或 $N$时，点 $A$， $C$重合，点 $P$， $Q$， $A$， $B$在同一直线上（如图 $3)$．

（1）点 $P$到 $\mathit{MN}$的距离为　　 $\mathit{cm}$．

（2）当点 $P$， $O$， $A$在同一直线上时，点 $Q$到 $\mathit{MN}$的距离为　　 $\mathit{cm}$．

如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在 $A$处观测对岸点 $C$，测得 $\angle \mathit{CAD}=45°$，小英同学在距点 $A$处60米远的 $B$点测得 $\angle \mathit{CBD}=30°$，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米， $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$．

某工程队准备从 $A$到 $B$修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$的同一侧选定 $C$， $D$两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$， $\mathit{CD}$长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$， $\mathit{BD}$长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$， $\angle \mathit{ACD}=60°$， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$、 $B$、 $C$、 $D$在同一水平面内）．

（1）求 $A$、 $D$两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$的长度．

如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点 $A$， $B$， $C$均为正六边形的顶点， $\mathit{AB}$与地面 $\mathit{BC}$所成的锐角为 $\beta$．则 $\tan \beta$的值是　　．

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $\mathit{AB}$ 固定，高 $\mathit{AB}$ 为 $50\mathit{cm}$ ，连杆 $\mathit{BC}$ 长度为 $70\mathit{cm}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ 长度为 $60\mathit{cm}$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{CD}$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，使 $\angle \mathit{ABC}=143°$ ， $\mathit{CD}//l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $\mathit{DE}$ 的长（精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$ ， $\cos 53°\approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110\mathit{cm}$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30°$的河床斜坡边，斜坡 $\mathit{BC}$长为48米，在点 $D$处测得桥墩最高点 $A$的仰角为 $35°$， $\mathit{CD}$平行于水平线 $\mathit{BM}$， $\mathit{CD}$长为 $16\sqrt{3}$米，求桥墩 $\mathit{AB}$的高（结果保留1位小数）． $(\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

图1是疫情期间测温员用"额温枪"对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 $\mathit{BC}$ 与手臂 $\mathit{MC}$ 始终在同一直线上，枪身 $\mathit{BA}$ 与额头保持垂直．量得胳膊 $\mathit{MN}=28\mathit{cm}$ ， $\mathit{MB}=42\mathit{cm}$ ，肘关节 $M$ 与枪身端点 $A$ 之间的水平宽度为 $25.3\mathit{cm}$ （即 $\mathit{MP}$ 的长度），枪身 $\mathit{BA}=8.5\mathit{cm}$ ．

（1）求 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数；

（2）测温时规定枪身端点 $A$ 与额头距离范围为 $3~5\mathit{cm}$ ．在图2中，若测得 $\angle \mathit{BMN}=68.6°$ ，小红与测温员之间距离为 $50\mathit{cm}$ ．问此时枪身端点 $A$ 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）

（参考数据： $\sin 66.4°\approx 0.92$ ， $\cos 66.4°\approx 0.40$ ， $\sin 23.6°\approx 0.40$ ， $\sqrt{2}\approx 1.414)$

有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图． $\mathit{AB}$和 $\mathit{CD}$是两根相同长度的活动支撑杆，点 $O$是它们的连接点， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $h\left(\mathit{cm}\right)$表示熨烫台的高度．

（1）如图 $2-1$．若 $\mathit{AB}=\mathit{CD}=110\mathit{cm}$， $\angle \mathit{AOC}=120°$，求 $h$的值；

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为 $120\mathit{cm}$时，两根支撑杆的夹角 $\angle \mathit{AOC}$是 $74°$（如图 $2-2)$．求该熨烫台支撑杆 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到 $1\mathit{cm})$．

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.8$， $\sin 53°\approx 0.8$， $\cos 53°\approx 0.6)$