初中数学解直角三角形的应用解答题

某挖掘机的底座高米，动臂米，米，与的固定夹角．初始位置如图1，斗杆顶点与铲斗顶点所在直线垂直地面于点，测得（示意图．工作时如图3，动臂会绕点转动，当点，，在同一直线时，斗杆顶点升至最高点（示意图．

（1）求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角的度数．

（2）问斗杆顶点的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）

（参考数据：，，，，

如图，在中．，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求点到的距离．

小明上学途中要经过 $A$ ， $B$ 两地，由于 $A$ ， $B$ 两地之间有一片草坪，所以需要走路线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{CB}$ ，如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=63m$ ， $\angle A=45°$ ， $\angle B=37°$ ，求 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{CB}$ 的长．（结果保留小数点后一位）

参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ， $\sqrt{2}$ 取1.414．

祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．

项目	内容
课题	测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图		说明：两侧最长斜拉索，相交于点，分别与桥面交于，两点，且点，，在同一竖直平面内．
测量数据	的度数	的度数	的长度
			234米

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点到的距离（参考数据：，，，，，

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．

太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢 $\mathit{AB}$ 的长度相同，均为 $300\mathit{cm}$ ， $\mathit{AB}$ 的倾斜角为 $30°$ ， $\mathit{BE}=\mathit{CA}=50\mathit{cm}$ ，支撑角钢 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{EF}$ 与底座地基台面接触点分别为 $D$ 、 $F$ ， $\mathit{CD}$ 垂直于地面， $\mathit{FE}\perp \mathit{AB}$ 于点 $E$ ．两个底座地基高度相同（即点 $D$ ， $F$ 到地面的垂直距离相同），均为 $30\mathit{cm}$ ，点 $A$ 到地面的垂直距离为 $50\mathit{cm}$ ，求支撑角钢 $\mathit{CD}$ 和 $\mathit{EF}$ 的长度各是多少 $\mathit{cm}$ （结果保留根号）．

图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．

（1）求点到的距离；

（2）求、两点的距离．

已知的直径，弦与弦交于点．且，垂足为点．

（1）如图1，如果，求弦的长；

（2）如图2，如果为弦的中点，求的余切值；

（3）联结、、，如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．

如图， 一座钢结构桥梁的框架是，水平横梁长 18 米， 中柱高 6 米， 其中是的中点， 且．

（1） 求的值；

（2） 现需要加装支架、，其中点在上，，且，垂足为点，求支架的长 ．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=3$ ，点 $D$ 在边 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{AD}=2\mathit{CD}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为点 $E$ ，联结 $\mathit{CE}$ ，求：

（1）线段 $\mathit{BE}$ 的长；

（2） $\angle \mathit{ECB}$ 的余切值．

图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（结果精确到．

（1）如图2，，．

①填空：　　．

②求投影探头的端点到桌面的距离．

（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小．

（参考数据：，，，

“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．

如图所示，底座上，两点间的距离为．低杠上点到直线的距离的长为，高杠上点到直线的距离的长为，已知低杠的支架与直线的夹角为，高杠的支架与直线的夹角为．求高、低杠间的水平距离的长．（结果精确到，参考数据，，，，，

2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的型航空母舰从大连造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长约，航母前端点到水平甲板的距离为，舰岛顶端到的距离是，经测量，，，请计算舰岛的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，

太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢的长度相同，均为，的倾斜角为，，支撑角钢，与底座地基台面接触点分别为、，垂直于地面，于点．两个底座地基高度相同（即点，到地面的垂直距离相同），均为，点到地面的垂直距离为，求支撑角钢和的长度各是多少（结果保留根号）．

如图，小明在笔直的河岸上的点处，以正对岸明显的标志点为参照点，设计出两种测量河宽的方案，绘制了相应的示意图，并用测角仪、卷尺及标杆测得一些数据如下：

（1）请你选择一种方案，结合示意图，简述测量过程；

（2）按照你选定的方案，求河宽．（参考数据：，

墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座与地面的距离为，花洒的长为，与墙壁的夹角为．求花洒顶端到地面的距离（结果精确到．（参考数据：，，