初中数学二次函数在给定区间上的最值解答题

如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝DQ，求点F的坐标．

如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．

（1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为     ；若P：y=-x²-3x+4， 则l表示的函数解析式为    ．
（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
（4）如图③，若l：y=mx-4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．

某企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，调查发现，国内市场的日销售量为y₁（吨）与时间t（t为整数，单位：天）的关系如图1所示的抛物线的一部分，而国外市场的日销售量y₂（吨）与时间t，t为整数，单位：天）的关系如图2所示．

（1）求y₁与时间t的函数关系式及自变量t的取值范围，并写出y₂与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）设国内、国外市场的日销售总量为y吨，直接写出y与时间t的函数关系式，当销售第几天时，国内、外市场的日销售总量最早达到75吨？
（3）判断上市第几天国内、国外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．

在学校举行的第八届运动会比赛中，某同学在投掷实心球时，实心球出手（点A处）的高度是1．4m,出手后的实心球沿一段抛物线运行，当运行到最大高度y=2m时，水平距离x=3m．

（1）试求实心球运行高度y与水平距离x之间的函数关系式；
（2）设实心球落地点为C，求此次实心球被推出的水平距离OC．

如图，已知抛物线的方程C1：（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M（2, 2），求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线y=x²+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．

（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

下表中所列x，y的数值是某二次函数y=ax²+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x₁＜x₂＜x₃＜x₄＜x₅＜x₆＜x₇，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（ ）．
①a＞0；
②9＜m＜16；
③k≤9；
④b²≤4a（c﹣k）．

x	…	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	…
y	…	16	m	9	k	9	m	16	…

A．①②    B．③④    C．①②④    D．①③④

如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x²+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x²+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？

定义一种变换：平移抛物线F₁得到抛物线F₂，使F₂经过F₁的顶点A．设F₂的对称轴分别交F₁，F₂于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图1，若F₁：y=x²，经过变换后，得到F₂：y=x²+bx，点C的坐标为（2，0），则：
①b的值等于      ；
②四边形ABCD为（ ）
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F₁：y=ax²+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c﹣1），求△ABD的面积；
（3）如图3，若F₁：y=x²﹣x+，经过变换后，AC=2，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．

如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，边AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．

（1）直接写出 D，E 两点的坐标，D（         ），E（           ）
（2）求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？
（3）当t为何值时，DP平分∠EDA？
（4）当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．  

（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．
①设△PDE的周长为，点P的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在轴上时，求出对应点P的坐标．

如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽（a）”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S_△ABC=ah，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答问题：
如图2，顶点为C(1，4)的抛物线y=ax²＋bx＋c交x轴于点A（3，0）、交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式．
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA、PB．
①当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB．
②是否存一点P，使S_△PAB=S_△CAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）已知一元二次方程的两根为，求证，．
（2）已知关于x的一元二次方程的两个不相等实数根满足，求a的值．
（3）已知抛物线与x轴交于A．B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，取得最小值，并求出最小值．

如图，抛物线y=（x+m）²+m，与直线y=﹣x相交于E，C两点（点E在点C的左边），抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．△ABC的外接圆⊙H与直线y=﹣x相交于点D．

（1）若抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），求m的值；
（2）求证：⊙H与直线y=1相切；
（3）若DE=2EC，求⊙H的半径．