初中数学解答题

在平面直角坐标系中，直线 $y=\frac{1}{2}x-2$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过 $B$， $C$两点，且与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，动点 $D$在直线 $\mathit{BC}$下方的二次函数图象上．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接 $\mathit{DC}$， $\mathit{DB}$，设 $\mathit{\Delta BCD}$的面积为 $S$，求 $S$的最大值；

（3）如图2，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDM}$中的某个角恰好等于 $\angle \mathit{ABC}$的2倍？若存在，直接写出点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+4x+c(a\ne 0)$经过点 $A(-1,0)$，点 $E(4,5)$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将 $\mathit{\Delta ABO}$绕点 $O$旋转，点 $B$的对应点为点 $F$．

①当点 $F$落在直线 $\mathit{AE}$上时，求点 $F$的坐标和 $\mathit{\Delta ABF}$的面积；

②当点 $F$到直线 $\mathit{AE}$的距离为 $\sqrt{2}$时，过点 $F$作直线 $\mathit{AE}$的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$的图象交 $x$轴于点 $A(1,0)$， $B(3,0)$，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点 $P$是直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上的一动点，求 $\mathit{\Delta BCP}$面积的最大值；

（3）直线 $x=m$分别交直线 $\mathit{BC}$和抛物线于点 $M$， $N$，当 $\mathit{\Delta BMN}$是等腰三角形时，直接写出 $m$的值．

如图， 点 $A$， $B$， $C$都在抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{amx}+a{m}^2+2m-5$（其 中 $-\frac{1}{4}<a<0)$上， $\mathit{AB}//x$轴， $\angle \mathit{ABC}=135°$，且 $\mathit{AB}=4$．

（1） 填空： 抛物线的顶点坐标为　　（用 含 $m$的代数式表示） ；

（2） 求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积 （用 含 $a$的代数式表示） ；

（3） 若 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 2 ，当 $2m-5⩽x⩽2m-2$时， $y$的最大值为 2 ，求 $m$的值 ．

在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，顶点为 $G$．

（1）求抛物线和直线 $\mathit{AC}$的解析式；

（2）如图1，设 $E(m,0)$为 $x$轴上一动点，若 $\mathit{\Delta CGE}$和 $\mathit{\Delta CGO}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta CGE}}=\frac{4}{3}{S}_{\mathit{\Delta CGO}}$，求点 $E$的坐标；

（3）如图2，设点 $P$从点 $A$出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $x$轴向右运动，运动时间为 $\mathit{ts}$，点 $M$为射线 $\mathit{AC}$上一动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴交抛物线对称轴右侧部分于点 $N$．试探究点 $P$在运动过程中，是否存在以 $P$， $M$， $N$为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c(a<0)$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$（点 $A$在原点的左侧，点 $B$在原点的右侧），与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OB}=\mathit{OC}=3$．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）如图1，连接 $\mathit{BC}$，点 $D$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的点，连接 $\mathit{OD}$， $\mathit{CD}$． $\mathit{OD}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，当 $S_{\mathit{\Delta COF}}:S_{\mathit{\Delta CDF}}=3:2$时，求点 $D$的坐标．

（3）如图2，点 $E$的坐标为 $(0,-\frac{3}{2})$，点 $P$是抛物线上的点，连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PE}$形成的 $\mathit{\Delta PBE}$中，是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{PBE}$或 $\angle \mathit{PEB}$等于 $2\angle \mathit{OBE}$？若存在，请直接写出符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，顶点为 $P(-1,-4)$， $\mathit{PB}\perp x$轴于点 $B$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AC}$，在 $x$轴下方的抛物线上存在点 $N$， $\mathit{BN}$与 $\mathit{AC}$的交点 $F$平分 $\mathit{BN}$，求点 $F$的坐标；

（3）将线段 $\mathit{BP}$和 $\mathit{BA}$绕点 $B$同时顺时针旋转相同的角度，得到线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{BD}$，直线 $\mathit{PE}$， $\mathit{AD}$相交于点 $M$．

①如图2，设 $\mathit{PE}$与 $x$轴交于点 $H$，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{AD}$交于点 $G$，求 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{BH}}$的值；

②连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{OM}$的长随线段 $\mathit{BP}$， $\mathit{BA}$的旋转而发生变化，请直接写出线段 $\mathit{OM}$长度的取值范围．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2-5\sqrt{3}x+c(a>0)$的图象与 $x$轴相交于不同的两点 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0)$，且 $x_1<x_2$，

（1）若抛物线的对称轴为 $x=\sqrt{3}$，求 $a$的值；

（2）若 $a=15$，求 $c$的取值范围；

（3）若该抛物线与 $y$轴相交于点 $D$，连接 $\mathit{BD}$，且 $\angle \mathit{OBD}=60°$，抛物线的对称轴 $l$与 $x$轴相交于点 $E$，点 $F$是直线 $l$上的一点，点 $F$的纵坐标为 $3+\frac{1}{2a}$，连接 $\mathit{AF}$，满足 $\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{AFE}$，求该二次函数的解析式．

我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　　；

②在凸四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$且 $\mathit{CB}\ne \mathit{CD}$，则该四边形　　“十字形”．（填“是”或“不是” $)$

（2）如图1， $A$， $B$， $C$， $D$是半径为1的 $\odot O$上按逆时针方向排列的四个动点， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$， $\angle \mathit{ADB}-\angle \mathit{CDB}=\angle \mathit{ABD}-\angle \mathit{CBD}$，当 $6⩽A{C}^2+B{D}^2⩽7$时，求 $\mathit{OE}$的取值范围；

（3）如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$， $b$， $c$为常数， $a>0$， $c<0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点（点 $A$在点 $C$的左侧）， $B$是抛物线与 $y$轴的交点，点 $D$的坐标为 $(0,-\mathit{ac})$，记“十字形” $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$，记 $\mathit{\Delta AOB}$， $\mathit{\Delta COD}$， $\mathit{\Delta AOD}$， $\mathit{\Delta BOC}$的面积分别为 $S_1$， $S_2$， $S_3$， $S_4$．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；

① $\sqrt{S}=\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}$；② $\sqrt{S}=\sqrt{S_3}+\sqrt{S_4}$；③“十字形” $\mathit{ABCD}$的周长为 $12\sqrt{10}$．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+1(a\ne 0$， $a$为实数）的图象过点 $A(-2,2)$，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0$， $k$， $b$为实数）的图象 $l$经过点 $B(0,2)$．

（1）求 $a$值并写出二次函数表达式；

（2）求 $b$值；

（3）设直线 $l$与二次函数图象交于 $M$， $N$两点，过 $M$作 $\mathit{MC}$垂直 $x$轴于点 $C$，试证明： $\mathit{MB}=\mathit{MC}$；

（4）在（3）的条件下，请判断以线段 $\mathit{MN}$为直径的圆与 $x$轴的位置关系，并说明理由．

已知抛物线 $F:y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过坐标原点 $O$，且与 $x$轴另一交点为 $(-\frac{\sqrt{3}}{3}$， $0)$．

（1） 求抛物线 $F$的解析式；

（2） 如图 1 ，直线 $l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+m(m>0)$与抛物线 $F$相交于点 $A(x_1$， $y_1)$和点 $B(x_2$， $y_2)$（点 $A$在第二象限） ，求 $y_2-y_1$的值 （用 含 $m$的式子表示） ；

（3） 在 （2） 中， 若 $m=\frac{4}{3}$，设点 $A\text{'}$是点 $A$关于原点 $O$的对称点， 如图 2 ．

①判断△ $\mathit{AA}\text{'}B$的形状， 并说明理由；

②平面内是否存在点 $P$，使得以点 $A$、 $B$、 $A\text{'}$、 $P$为顶点的四边形是菱形？若存在， 求出点 $P$的坐标；若不存在， 请说明理由 ．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，矩形 $\mathit{EFGH}$的一边 $\mathit{EF}$在 $\mathit{AB}$上，顶点 $G$、 $H$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{CD}$是边 $\mathit{AB}$上的高， $\mathit{CD}$交 $\mathit{GH}$于点 $I$．若 $\mathit{CI}=4$， $\mathit{HI}=3$， $\mathit{AD}=\frac{9}{2}$．矩形 $\mathit{DFGI}$恰好为正方形．

（1）求正方形 $\mathit{DFGI}$的边长；

（2）如图2，延长 $\mathit{AB}$至 $P$．使得 $\mathit{AC}=\mathit{CP}$，将矩形 $\mathit{EFGH}$沿 $\mathit{BP}$的方向向右平移，当点 $G$刚好落在 $\mathit{CP}$上时，试判断移动后的矩形与 $\mathit{\Delta CBP}$重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$，将正方形 $\mathit{DFGI}$绕点 $D$顺时针旋转一定的角度得到正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$，正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$分别与线段 $\mathit{DG}$、 $\mathit{DB}$相交于点 $M$、 $N$，求 $\mathit{\Delta MNG}\text{'}$的周长．

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{3}{2}x-n(n>0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点 $(A$点在 $B$点的左边），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）如图1，若 $\mathit{\Delta ABC}$为直角三角形，求 $n$的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点 $P$在抛物线上，点 $Q$在抛物线的对称轴上，若以 $\mathit{BC}$为边，以点 $B$、 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求 $P$点的坐标；

（3）如图2，过点 $A$作直线 $\mathit{BC}$的平行线交抛物线于另一点 $D$，交 $y$轴于点 $E$，若 $\mathit{AE}:\mathit{ED}=1:4$，求 $n$的值．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$、 $b$为常数， $a\ne 0)$与 $x$轴相交于另一点 $A(3,0)$．直线 $l:y=x$在第一象限内和此抛物线相交于点 $B(5,t)$，与抛物线的对称轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上找一点 $P$，使以点 $P$、 $O$、 $C$为顶点的三角形与以点 $A$、 $O$、 $B$为顶点的三角形相似，求满足条件的点 $P$的坐标；

（3）直线 $l$沿着 $x$轴向右平移得到直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $M$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp x$轴于点 $E$．把 $\mathit{\Delta MEN}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E\text{'}$恰好落在抛物线上时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图 $3)$，直线 $l\text{'}$与 $y$轴相交于点 $K$，把 $\mathit{\Delta MOK}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$得到△ $M\text{'}\mathit{OK}\text{'}$，点 $F$为直线 $l\text{'}$上的动点．当△ $M^{\text{'}}\mathit{FK}\text{'}$为等腰三角形时，求满足条件的点 $F$的坐标．

如图，点 $P$为抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2$上一动点．

（1）若抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2$是由抛物线 $y=\frac{1}{4}{(x+2)}^2-1$通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线 $l$经过 $y$轴上一点 $N$，且平行于 $x$轴，点 $N$的坐标为 $(0,-1)$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp l$于 $M$．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 $F$，使得 $\mathit{PM}=\mathit{PF}$恒成立？若存在，求出点 $F$的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点 $Q$的坐标为 $(1,5)$，求 $\mathit{QP}+\mathit{PF}$的最小值．