初中数学解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(4,0)$，且与 $y$轴相交于点 $C$．点 $D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），设点 $D$的横坐标为 $t$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//y$轴交抛物线于点 $E$，点 $F$在 $\mathit{DE}$的延长线上，且 $\mathit{EF}=\mathit{DE}$，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp$直线 $\mathit{BC}$，垂足为点 $G$．

（1）求此抛物线的解析式和点 $C$的坐标；

（2）设 $\mathit{\Delta DFG}$的周长为 $L$，求 $L$关于 $t$的函数关系式；

（3）直线 $m$经过点 $C$，且直线 $m//x$轴，点 $P$是直线 $m$上任意一点，过点 $P$分别作 $\mathit{PQ}\perp$直线 $\mathit{BC}$， $\mathit{PR}\perp x$轴，垂足分别为点 $Q$， $R$，若以三点 $P$， $Q$， $R$为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OCDE}$的顶点 $C$和 $E$分别在 $y$轴的正半轴和 $x$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=8$， $\mathit{OE}=17$，抛物线 $y=\frac{3}{20}{x}^2-3x+m$与 $y$轴相交于点 $A$，抛物线的对称轴与 $x$轴相交于点 $B$，与 $\mathit{CD}$交于点 $K$．

（1）将矩形 $\mathit{OCDE}$沿 $\mathit{AB}$折叠，点 $O$恰好落在边 $\mathit{CD}$上的点 $F$处．

①点 $B$的坐标为 $($　　、　　 $)$， $\mathit{BK}$的长是　　， $\mathit{CK}$的长是　　；

②求点 $F$的坐标；

③请直接写出抛物线的函数表达式；

（2）将矩形 $\mathit{OCDE}$沿着经过点 $E$的直线折叠，点 $O$恰好落在边 $\mathit{CD}$上的点 $G$处，连接 $\mathit{OG}$，折痕与 $\mathit{OG}$相交于点 $H$，点 $M$是线段 $\mathit{EH}$上的一个动点（不与点 $H$重合），连接 $\mathit{MG}$， $\mathit{MO}$，过点 $G$作 $\mathit{GP}\perp \mathit{OM}$于点 $P$，交 $\mathit{EH}$于点 $N$，连接 $\mathit{ON}$，点 $M$从点 $E$开始沿线段 $\mathit{EH}$向点 $H$运动，至与点 $N$重合时停止， $\mathit{\Delta MOG}$和 $\mathit{\Delta NOG}$的面积分别表示为 $S_1$和 $S_2$，在点 $M$的运动过程中， $S_1·S_2$（即 $S_1$与 $S_2$的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $y$轴于点 $C$，交 $x$轴于 $A$、 $B$两点， $A(-2,0)$， $a+b=\frac{1}{2}$，点 $M$是抛物线上的动点，点 $M$在顶点和 $B$点之间运动（不包括顶点和 $B$点）， $\mathit{ME}//y$轴，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段 $\mathit{ME}$的最大值；

（3）若点 $F$在直线 $\mathit{BC}$上， $\mathit{EF}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$， $\angle \mathit{EFM}=\angle \mathit{ACO}$，求点 $F$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OB}=\mathit{OC}$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp y$轴交抛物线于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足点为 $E$， $\tan \angle \mathit{ACO}=\frac{1}{2}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线 $l$经过 $A$， $C$两点，将直线 $l$向右平移，平移过程中，直线 $l$与 $y$轴，直线 $\mathit{CD}$分别交于点 $M$， $N$，将 $\mathit{\Delta CMN}$沿直线 $\mathit{MN}$折叠，点 $C$的对应点 $F$落在线段 $\mathit{DE}$上．

①请求出 $\mathit{\Delta FMN}$的面积；

②点 $P$为抛物线上的点，若 $S_{\mathit{\Delta PMN}}=S_{\mathit{\Delta FMN}}$，请直接写出满足条件的点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$（其中 $a$、 $b$为常数， $a\ne 0)$经过点 $A(-1,0)$和点 $B(3,0)$，且与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为对称轴与直线 $\mathit{BC}$的交点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）抛物线上存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta DPB}\backsim \mathit{\Delta ACB}$，求点 $P$的坐标；

（3）若点 $Q$为点 $O$关于直线 $\mathit{BC}$的对称点，点 $M$为直线 $\mathit{BC}$上一点，点 $N$为坐标平面内一点，是否存在这样的点 $M$和点 $N$，使得以 $Q$、 $B$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$坐标为 $(6,0)$，点 $C$坐标为 $(0,6)$，点 $D$是抛物线的顶点，过点 $D$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）点 $F$是抛物线上的动点，当 $\angle \mathit{FBA}=\angle \mathit{BDE}$时，求点 $F$的坐标；

（3）若点 $M$是抛物线上的动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴与抛物线交于点 $N$，点 $P$在 $x$轴上，点 $Q$在坐标平面内，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作正方形 $\mathit{MPNQ}$，请写出点 $Q$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象交 $x$轴于点 $A(-4,0)$和点 $B$，交 $y$轴于点 $C(0,4)$．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点 $P$在第二象限内的抛物线上，求四边形 $\mathit{AOCP}$面积的最大值和此时点 $P$的坐标；

（3）在平面直角坐标系内，是否存在点 $Q$，使 $A$， $B$， $C$， $Q$四点构成平行四边形？若存在，直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-3,0)$，点 $C(0,4)$，作 $\mathit{CD}//x$轴交抛物线于点 $D$，作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，动点 $M$从点 $E$出发在线段 $\mathit{EA}$上以每秒2个单位长度的速度向点 $A$运动，同时动点 $N$从点 $A$出发在线段 $\mathit{AC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $\mathit{\Delta DMN}$的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）①当 $\mathit{MN}//\mathit{DE}$时，直接写出 $t$的值；

②在点 $M$和点 $N$运动过程中，是否存在某一时刻，使 $\mathit{MN}\perp \mathit{AD}$？若存在，直接写出此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$过 $A(4,0)$， $B(1,3)$两点，点 $C$、 $B$关于抛物线的对称轴对称，过点 $B$作直线 $\mathit{BH}\perp x$轴，交 $x$轴于点 $H$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点 $C$的坐标，并求出 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（3）点 $P$是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 $\mathit{\Delta ABP}$的面积为6时，求出点 $P$的坐标；

（4）若点 $M$在直线 $\mathit{BH}$上运动，点 $N$在 $x$轴上运动，当以点 $C$、 $M$、 $N$为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 $\mathit{\Delta CMN}$的面积．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=x^2+\frac{1}{4}$与 $y$轴相交于点 $A$，点 $B$与点 $O$关于点 $A$对称

（1）填空：点 $B$的坐标是　　；

（2）过点 $B$的直线 $y=\mathit{kx}+b$（其中 $k<0)$与 $x$轴相交于点 $C$，过点 $C$作直线 $l$平行于 $y$轴， $P$是直线 $l$上一点，且 $\mathit{PB}=\mathit{PC}$，求线段 $\mathit{PB}$的长（用含 $k$的式子表示），并判断点 $P$是否在抛物线上，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $C$关于直线 $\mathit{BP}$的对称点 $C\text{'}$恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 $P$的坐标．

如图1，已知抛物线 $y=\frac{1}{a}(x-2)(x+a)(a>0)$与 $x$轴从左至右交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）若抛物线过点 $T(1,-\frac{5}{4})$，求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点 $D$，使得以 $A$、 $B$、 $D$三点为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求 $a$的值；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在（1）的条件下，点 $P$的坐标为 $(-1,1)$，点 $Q(6,t)$是抛物线上的点，在 $x$轴上，从左至右有 $M$、 $N$两点，且 $\mathit{MN}=2$，问 $\mathit{MN}$在 $x$轴上移动到何处时，四边形 $\mathit{PQNM}$的周长最小？请直接写出符合条件的点 $M$的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+1$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PO}$，若 $\mathit{\Delta POA}$的面积是 $\mathit{\Delta POB}$面积的 $\frac{4}{3}$倍．

①求点 $P$的坐标；

②点 $Q$为抛物线对称轴上一点，请直接写出 $\mathit{QP}+\mathit{QA}$的最小值；

（3）点 $M$为直线 $\mathit{AB}$上的动点，点 $N$为抛物线上的动点，当以点 $O$、 $B$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $M$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $B$， $D(5,2)\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为点 $E$．点 $A$在 $y$轴正半轴上，点 $B$在 $x$轴负半轴上，点 $C$在 $x$轴正半轴上，且 $\tan \angle \mathit{BAO}=\frac{1}{2}$．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$是否在该函数图象上；

（2）点 $F$是线段 $\mathit{AD}$上一点，在线段 $\mathit{AD}$下方作 $\angle \mathit{HFK}=90°$．

①当点 $F$运动时，使 $\angle \mathit{HFK}$的一边 $\mathit{FH}$始终过点 $O$，另一边 $\mathit{FK}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，（不含点 $D$与 $N$重合的情形）设 $\mathit{AF}=n$， $\mathit{DN}=m$，求 $m$关于 $n$的函数关系式，并求出 $m$的取值范围．

②当 $\mathit{AF}=1$时，将 $\angle \mathit{HFK}$绕点 $F$旋转，一条边 $\mathit{FH}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $P$，另一条边 $\mathit{FK}$交线段 $\mathit{OE}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，以 $\mathit{PQ}$为直径作 $\odot M$，设圆心 $M$的坐标为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$之间的函数关系式，并直接写出点 $P$从点 $O$运动到点 $A$时圆心 $M$运动的路径长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$的对称轴是直线 $x=1$，与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$的坐标为 $(-2,0)$，点 $P$为抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点 $P$在第一象限内，当 $\mathit{OD}=4\mathit{PE}$时，求四边形 $\mathit{POBE}$的面积；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$为直线 $\mathit{BC}$上一点，点 $N$为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点 $M$和点 $N$，使得以点 $B$， $D$， $M$， $N$为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的两个交点分别为 $A(3,0)$， $D(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$在 $y$轴正半轴上，且 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线的顶点为点 $E$，对称轴交 $x$轴于点 $M$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{AB}$，请在抛物线的对称轴上找一点 $Q$，使 $\angle \mathit{QBA}=\angle \mathit{BEM}$，求出点 $Q$的坐标；

（3）如图2，过点 $C$作 $\mathit{CF}//x$轴，交抛物线于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$，点 $G$是 $x$轴上一点，在抛物线上是否存在点 $N$，使以点 $B$， $F$， $G$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．