初中数学解答题

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$， $E$是 $\mathit{BD}$上一点， $\mathit{EF}//\mathit{AB}$， $\angle \mathit{EAB}=\angle \mathit{EBA}$，过点 $B$作 $\mathit{DA}$的垂线，交 $\mathit{DA}$的延长线于点 $G$．

（1） $\angle \mathit{DEF}$和 $\angle \mathit{AEF}$是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）找出图中与 $\mathit{\Delta AGB}$相似的三角形，并证明；

（3） $\mathit{BF}$的延长线交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $H$，交 $\mathit{AC}$于点 $M$．求证： $B{M}^2=\mathit{MF}·\mathit{MH}$．

问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$，则： $\mathit{AC}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图1，连接 $\mathit{AB}$边上中线 $\mathit{CE}$，由于 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，易得结论：① $\mathit{\Delta ACE}$为等边三角形；② $\mathit{BE}$与 $\mathit{CE}$之间的数量关系为　　．

（2）如图2，点 $D$是边 $\mathit{CB}$上任意一点，连接 $\mathit{AD}$，作等边 $\mathit{\Delta ADE}$，且点 $E$在 $\angle \mathit{ACB}$的内部，连接 $\mathit{BE}$．试探究线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点 $D$为边 $\mathit{CB}$延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论　　．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$的坐标为 $(-\sqrt{3}$， $1)$，点 $B$是 $x$轴正半轴上的一动点，以 $\mathit{AB}$为边作等边 $\mathit{\Delta ABC}$，当 $C$点在第一象限内，且 $B(2,0)$时，求 $C$点的坐标．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$， $\mathit{CB}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{AB}=16\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=6\mathit{cm}$， $\mathit{CD}=8\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $D$开始沿 $\mathit{DA}$边匀速运动，动点 $Q$从点 $A$开始沿 $\mathit{AB}$边匀速运动，它们的运动速度均为 $2\mathit{cm}/s$．点 $P$和点 $Q$同时出发，以 $\mathit{QA}$、 $\mathit{QP}$为边作平行四边形 $\mathit{AQPE}$，设运动的时间为 $t\left(s\right)$， $0<t<5$．

根据题意解答下列问题：

（1）用含 $t$的代数式表示 $\mathit{AP}$；

（2）设四边形 $\mathit{CPQB}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{QP}\perp \mathit{BD}$时，求 $t$的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $E$在 $\angle \mathit{ABD}$的平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{OC}=2\mathit{OB}$， $\tan \angle \mathit{ABC}=2$，点 $B$的坐标为 $(1,0)$．抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是直线 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一点，过点 $P$作 $\mathit{PD}$垂直 $x$轴于点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，使 $\mathit{PE}=\frac{1}{2}\mathit{DE}$．

①求点 $P$的坐标；

②在直线 $\mathit{PD}$上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta ABM}$为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$与 $x$轴分别交于原点 $O$和点 $F(10,0)$，与对称轴 $l$交于点 $E(5,5)$．矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴正半轴上，且 $\mathit{AB}=1$，边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$与抛物线分别交于点 $M$， $N$．当矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $x$轴正方向平移，点 $M$， $N$位于对称轴 $l$的同侧时，连接 $\mathit{MN}$，此时，四边形 $\mathit{ABNM}$的面积记为 $S$；点 $M$， $N$位于对称轴 $l$的两侧时，连接 $\mathit{EM}$， $\mathit{EN}$，此时五边形 $\mathit{ABNEM}$的面积记为 $S$．将点 $A$与点 $O$重合的位置作为矩形 $\mathit{ABCD}$平移的起点，设矩形 $\mathit{ABCD}$平移的长度为 $t(0⩽t⩽5)$．

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当 $t=0$时，求 $S_{\mathit{\Delta OBN}}$的值；

（3）当矩形 $\mathit{ABCD}$沿着 $x$轴的正方向平移时，求 $S$关于 $t(0<t⩽5)$的函数表达式，并求出 $t$为何值时， $S$有最大值，最大值是多少？

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,3)$三点， $D$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于 $E$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段 $\mathit{DE}$长度的最大值；

（3）如图2，设 $\mathit{AB}$的中点为 $F$，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDE}$中有一个角与 $\angle \mathit{CFO}$相等？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$经过点 $A(3,0)$， $B(-1,0)$， $C(0,-3)$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点 $A$为圆心的圆与直线 $\mathit{BC}$相切于点 $M$，求切点 $M$的坐标；

（3）若点 $Q$在 $x$轴上，点 $P$在抛物线上，是否存在以点 $B$， $C$， $Q$， $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过 $A(2,0)$、 $B(4,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，过点 $C$作 $x$轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．点 $P$是该抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $m(m>4)$．

（1）求该抛物线的表达式和 $\angle \mathit{ACB}$的正切值；

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ACP}=45°$，求 $m$的值；

（3）如图3，过点 $A$、 $P$的直线与 $y$轴于点 $N$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $M$，直线 $\mathit{MN}$与 $x$轴交于点 $Q$，试判断四边形 $\mathit{ADMQ}$的形状，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B(-5,0)$和点 $C(1,0)$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//x$轴交抛物线于点 $D$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$是抛物线上一点，且点 $E$关于 $x$轴的对称点在直线 $\mathit{AD}$上，求 $\mathit{\Delta EAD}$的面积；

（3）若点 $P$是直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标和 $\mathit{\Delta ABP}$的最大面积．

如图，抛物线 $y=a(x-1)(x-3)(a>0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，抛物线上另有一点 $C$在 $x$轴下方，且使 $\mathit{\Delta OCA}\backsim \mathit{\Delta OBC}$．

（1）求线段 $\mathit{OC}$的长度；

（2）设直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $M$，点 $C$是 $\mathit{BM}$的中点时，求直线 $\mathit{BM}$和抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上是否存在一点 $P$，使得四边形 $\mathit{ABPC}$面积最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y=x-1$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A$、 $B$两点，其中 $A(m,0)$、 $B(4,n)$，该抛物线与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于另一点 $D$．

（1）求 $m$、 $n$的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点 $P$为线段 $\mathit{AD}$上的一动点（不与 $A$、 $D$重合），分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{DP}$为斜边，在直线 $\mathit{AD}$的同侧作等腰直角 $\mathit{\Delta APM}$和等腰直角 $\mathit{\Delta DPN}$，连接 $\mathit{MN}$，试确定 $\mathit{\Delta MPN}$面积最大时 $P$点的坐标；

（3）如图3，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，在线段 $\mathit{CD}$上是否存在点 $Q$，使得以 $A$、 $D$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABD}$相似，若存在，请直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 $P(x,y)$的动圆经过点 $A(1,2)$且与 $x$轴相切于点 $B$．

（1）当 $x=2$时，求 $\odot P$的半径；

（2）求 $y$关于 $x$的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到　　的距离等于到　　的距离的所有点的集合．

（4）当 $\odot P$的半径为1时，若 $\odot P$与以上（2）中所得函数图象相交于点 $C$、 $D$，其中交点 $D(m,n)$在点 $C$的右侧，请利用图②，求 $\cos \angle \mathit{APD}$的大小．

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于另一点 $A(\frac{3}{2}$， $0)$，在第一象限内与直线 $y=x$交于点 $B(2,t)$．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点 $C$，满足以 $B$， $O$， $C$为顶点的三角形的面积为2，求点 $C$的坐标；

（3）如图2，若点 $M$在这条抛物线上，且 $\angle \mathit{MBO}=\angle \mathit{ABO}$，在（2）的条件下，是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta POC}\backsim \mathit{\Delta MOB}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$坐标为 $(6,0)$，点 $C$坐标为 $(0,6)$，点 $D$是抛物线的顶点，过点 $D$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）点 $F$是抛物线上的动点，当 $\angle \mathit{FBA}=\angle \mathit{BDE}$时，求点 $F$的坐标；

（3）若点 $M$是抛物线上的动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}//x$轴与抛物线交于点 $N$，点 $P$在 $x$轴上，点 $Q$在坐标平面内，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作正方形 $\mathit{MPNQ}$，请写出点 $Q$的坐标．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{AB}=4$，矩形 $\mathit{OBDC}$的边 $\mathit{CD}=1$，延长 $\mathit{DC}$交抛物线于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点 $P$是直线 $\mathit{EO}$上方抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $y$轴的平行线交直线 $\mathit{EO}$于点 $G$，作 $\mathit{PH}\perp \mathit{EO}$，垂足为 $H$．设 $\mathit{PH}$的长为 $l$，点 $P$的横坐标为 $m$，求 $l$与 $m$的函数关系式（不必写出 $m$的取值范围），并求出 $l$的最大值；

（3）如果点 $N$是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 $M$，使得以 $M$， $A$， $C$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．