初中数学解答题

已知：在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，点 $A$在 $x$轴的负半轴上，直线 $y=-\sqrt{3}x+\frac{7}{2}\sqrt{3}$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $B$、 $C$两点，四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形．

（1）如图1，求点 $A$的坐标；

（2）如图2，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$为 $\mathit{\Delta ACD}$内一点，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，且 $\angle \mathit{APB}=60°$，点 $E$在线段 $\mathit{AP}$上，点 $F$在线段 $\mathit{BP}$上，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{EF}$，若 $\angle \mathit{AFE}=30°$，求 $A{F}^2+E{F}^2$的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $\mathit{PE}=\mathit{AE}$时，求点 $P$的坐标．

综合与探究

如图1所示，直线 $y=x+c$与 $x$轴交于点 $A(-4,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A$， $C$．

（1）求抛物线的解析式

（2）点 $E$在抛物线的对称轴上，求 $\mathit{CE}+\mathit{OE}$的最小值；

（3）如图2所示， $M$是线段 $\mathit{OA}$的上一个动点，过点 $M$垂直于 $x$轴的直线与直线 $\mathit{AC}$和抛物线分别交于点 $P$、 $N$．

①若以 $C$， $P$， $N$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta APM}$相似，则 $\mathit{\Delta CPN}$的面积为　　；

②若点 $P$恰好是线段 $\mathit{MN}$的中点，点 $F$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点，在坐标平面内是否存在点 $D$，使以点 $D$， $F$， $P$， $M$为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $B$点坐标为 $(4,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,4)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴下方的抛物线上，过点 $P$的直线 $y=x+m$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $E$，与 $y$轴交于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}$的最大值；

（3）点 $D$为抛物线对称轴上一点．

①当 $\mathit{\Delta BCD}$是以 $\mathit{BC}$为直角边的直角三角形时，直接写出点 $D$的坐标；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$是锐角三角形，直接写出点 $D$的纵坐标 $n$的取值范围．

如图，抛物线 $C_1:y=x^2-2x$与抛物线 $C_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}$开口大小相同、方向相反，它们相交于 $O$， $C$两点，且分别与 $x$轴的正半轴交于点 $B$，点 $A$， $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）在抛物线 $C_2$的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，说明理由；

（3） $M$是直线 $\mathit{OC}$上方抛物线 $C_2$上的一个动点，连接 $\mathit{MO}$， $\mathit{MC}$， $M$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta MOC}$面积最大？并求出最大面积．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$与 $x$轴的交点为 $A(-1,0)$， $B(2,0)$，且与 $y$轴交于 $C$点．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $C$关于 $x$轴的对称点为 $C_1$， $M$是线段 $B{C}_1$上的一个动点（不与 $B$、 $C_1$重合）， $\mathit{ME}\perp x$轴， $\mathit{MF}\perp y$轴，垂足分别为 $E$、 $F$，当点 $M$在什么位置时，矩形 $\mathit{MFOE}$的面积最大？说明理由．

（3）已知点 $P$是直线 $y=\frac{1}{2}x+1$上的动点，点 $Q$为抛物线上的动点，当以 $C$、 $C_1$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点 $P$和点 $Q$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$经过点 $A(1,0)$和点 $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $P$为第二象限内抛物线上的动点．

（1）抛物线的解析式为　　，抛物线的顶点坐标为　　；

（2）如图1，连接 $\mathit{OP}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，当 $S_{\mathit{\Delta CPD}}:S_{\mathit{\Delta BPD}}=1:2$时，请求出点 $D$的坐标；

（3）如图2，点 $E$的坐标为 $(0,-1)$，点 $G$为 $x$轴负半轴上的一点， $\angle \mathit{OGE}=15°$，连接 $\mathit{PE}$，若 $\angle \mathit{PEG}=2\angle \mathit{OGE}$，请求出点 $P$的坐标；

（4）如图3，是否存在点 $P$，使四边形 $\mathit{BOCP}$的面积为8？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）数学理解：如图①， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形，过斜边 $\mathit{AB}$的中点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，求 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$之间的数量关系；

（2）问题解决：如图②，在任意直角 $\mathit{\Delta ABC}$内，找一点 $D$，过点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{AF}$，求 $\angle \mathit{ADB}$的度数；

（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 $\mathit{ED}$， $\mathit{FD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$， $N$，求 $\mathit{MN}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$的数量关系．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x+3$分别相交于 $A$， $B$两点，且此抛物线与 $x$轴的一个交点为 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．已知 $A(0,3)$， $C(-3,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$上找一点 $M$，使 $|\mathit{MB}-\mathit{MC}|$的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$为 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PA}$交 $y$轴于点 $Q$，问：是否存在点 $P$使得以 $A$， $P$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(\sqrt{3}$， $0)$， $B$两点（点 $B$在点 $A$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OB}=3\mathit{OA}=\sqrt{3}\mathit{OC}$， $\angle \mathit{OAC}$的平分线 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $D$，过点 $A$且垂直于 $\mathit{AD}$的直线 $l$交 $y$轴于点 $E$，点 $P$是 $x$轴下方抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PF}\perp x$轴，垂足为 $F$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $H$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $P$的横坐标为 $m$，当 $\mathit{FH}=\mathit{HP}$时，求 $m$的值；

（3）当直线 $\mathit{PF}$为抛物线的对称轴时，以点 $H$为圆心， $\frac{1}{2}\mathit{HC}$为半径作 $\odot H$，点 $Q$为 $\odot H$上的一个动点，求 $\frac{1}{4}\mathit{AQ}+\mathit{EQ}$的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点 $(A$在 $B$的左侧），且 $\mathit{OA}=3$， $\mathit{OB}=1$，与 $y$轴交于 $C(0,3)$，抛物线的顶点坐标为 $D(-1,4)$．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点 $D$作直线 $\mathit{DE}//y$轴，交 $x$轴于点 $E$，点 $P$是抛物线上 $B$、 $D$两点间的一个动点（点 $P$不与 $B$、 $D$两点重合）， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{DE}$分别交于点 $F$、 $G$，当点 $P$运动时， $\mathit{EF}+\mathit{EG}$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=-x^2+2x-1$的顶点 $A$在 $x$轴上，交 $y$轴于 $B$，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与 $x$轴交于 $C$， $D$，顶点为 $E(1,4)$．

（1）求点 $B$的坐标和平移后抛物线的解析式；

（2）点 $M$在原抛物线上，平移后的对应点为 $N$，若 $\mathit{OM}=\mathit{ON}$，求点 $M$的坐标；

（3）如图2，直线 $\mathit{CB}$与平移后的抛物线交于 $F$．在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使得以 $C$， $F$， $P$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线 $y$的函数表达式及点 $C$的坐标；

（2）点 $M$为坐标平面内一点，若 $\mathit{MA}=\mathit{MB}=\mathit{MC}$，求点 $M$的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点 $E$，使 $4\tan \angle \mathit{ABE}=11\tan \angle \mathit{ACB}$？若存在，求出满足条件的所有点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知： $A$、 $B$两点在直线 $l$的同一侧，线段 $\mathit{AO}$， $\mathit{BM}$均是直线 $l$的垂线段，且 $\mathit{BM}$在 $\mathit{AO}$的右边， $\mathit{AO}=2\mathit{BM}$，将 $\mathit{BM}$沿直线 $l$向右平移，在平移过程中，始终保持 $\angle \mathit{ABP}=90°$不变， $\mathit{BP}$边与直线 $l$相交于点 $P$．

（1）当 $P$与 $O$重合时（如图2所示），设点 $C$是 $\mathit{AO}$的中点，连接 $\mathit{BC}$．求证：四边形 $\mathit{OCBM}$是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证： $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{PB}}=\frac{\mathit{OM}}{\mathit{BM}}$；

（3）若 $\mathit{AO}=2\sqrt{6}$，且当 $\mathit{MO}=2\mathit{PO}$时，请直接写出 $\mathit{AB}$和 $\mathit{PB}$的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-5\mathit{ax}+c$与坐标轴分别交于点 $A$， $C$， $E$三点，其中 $A(-3,0)$， $C(0,4)$，点 $B$在 $x$轴上， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，过点 $B$作 $\mathit{BD}\perp x$轴交抛物线于点 $D$，点 $M$， $N$分别是线段 $\mathit{CO}$， $\mathit{BC}$上的动点，且 $\mathit{CM}=\mathit{BN}$，连接 $\mathit{MN}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{AN}$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）当 $\mathit{\Delta CMN}$是直角三角形时，求点 $M$的坐标；

（3）试求出 $\mathit{AM}+\mathit{AN}$的最小值．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的顶点 $M(\sqrt{3}$， $3)$关于 $x$轴的对称点为 $B$，点 $A$为抛物线与 $x$轴的一个交点，点 $A$关于原点 $O$的对称点为 $A\text{'}$；已知 $C$为 $A\text{'}B$的中点， $P$为抛物线上一动点，作 $\mathit{CD}\perp x$轴， $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足分别为 $D$， $E$．

（1）求点 $A$的坐标及抛物线的解析式；

（2）当 $0<x<2\sqrt{3}$时，是否存在点 $P$使以点 $C$， $D$， $P$， $E$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．