初中数学解答题

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A(0,3)$、 $B(-1,0)$、 $D(2,3)$，抛物线与 $x$轴的另一交点为 $E$．经过点 $E$的直线 $l$将平行四边形 $\mathit{ABCD}$分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 $F$．点 $P$为直线 $l$上方抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $t$何值时， $\mathit{\Delta PFE}$的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PAE}$为直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,3)$，点 $M$、 $N$为抛物线上的动点，过点 $M$作 $\mathit{MD}//y$轴，交直线 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $x$轴于点 $E$．

（1）求二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）过点 $N$作 $\mathit{NF}\perp x$轴，垂足为点 $F$，若四边形 $\mathit{MNFE}$为正方形（此处限定点 $M$在对称轴的右侧），求该正方形的面积；

（3）若 $\angle \mathit{DMN}=90°$， $\mathit{MD}=\mathit{MN}$，求点 $M$的横坐标．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\mathit{AD}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AC}$， $E$是 $\mathit{AB}$的中点， $F$是 $\mathit{AC}$延长线上一点．

（1）若 $\mathit{ED}\perp \mathit{EF}$，求证： $\mathit{ED}=\mathit{EF}$；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{DC}$的延长线与 $\mathit{FB}$交于点 $P$，试判定四边形 $\mathit{ACPE}$是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3）若 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$， $\mathit{ED}$与 $\mathit{EF}$垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．

如图所示，在平面直角坐标系中， $\odot C$经过坐标原点 $O$，且与 $x$轴， $y$轴分别相交于 $M(4,0)$， $N(0,3)$两点．已知抛物线开口向上，与 $\odot C$交于 $N$， $H$， $P$三点， $P$为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点 $C$且垂直 $x$轴于点 $D$．

（1）求线段 $\mathit{CD}$的长及顶点 $P$的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）设抛物线交 $x$轴于 $A$， $B$两点，在抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $S_{\mathit{四边形OPMN}}=8S_{\mathit{\Delta QAB}}$，且 $\mathit{\Delta QAB}\backsim \mathit{\Delta OBN}$成立？若存在，请求出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知： $\text{Rt}\Delta \text{EFP}$和矩形 $\mathit{ABCD}$如图①摆放（点 $P$与点 $B$重合），点 $F$， $B\left(P\right)$， $C$在同一直线上， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=\mathit{FP}=8\mathit{cm}$， $\angle \mathit{EFP}=90°$．如图②， $\mathit{\Delta EFP}$从图①的位置出发，沿 $\mathit{BC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$， $\mathit{EP}$与 $\mathit{AB}$交于点 $G$；同时，点 $Q$从点 $C$出发，沿 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$．过点 $Q$作 $\mathit{QM}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $H$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{PQ}$，当点 $Q$停止运动时， $\mathit{\Delta EFP}$也停止运动．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<6)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{PQ}//\mathit{BD}$？

（2）设五边形 $\mathit{AFPQM}$的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$，求 $y$与 $t$之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\mathit{五边形AFPQM}}:S_{\mathit{矩形ABCD}}=9:8$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $M$在线段 $\mathit{PG}$的垂直平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$经过点 $A(2,-3)$，与 $x$轴负半轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OC}=3\mathit{OB}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $D$在 $y$轴上，且 $\angle \mathit{BDO}=\angle \mathit{BAC}$，求点 $D$的坐标；

（3）点 $M$在抛物线上，点 $N$在抛物线的对称轴上，是否存在以点 $A$， $B$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $y$轴交于点 $A(0,6)$，与 $x$轴交于点 $B(6,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点 $P$移动到抛物线的什么位置时，使得 $\angle \mathit{PAB}=75°$，求出此时点 $P$的坐标；

（3）当点 $P$从 $A$点出发沿线段 $\mathit{AB}$上方的抛物线向终点 $B$移动，在移动中，点 $P$的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点 $M$以每秒1个单位长度的速度沿 $\mathit{AO}$向终点 $O$移动，点 $P$， $M$移动到各自终点时停止．当两个动点移动 $t$秒时，求四边形 $\mathit{PAMB}$的面积 $S$关于 $t$的函数表达式，并求 $t$为何值时， $S$有最大值，最大值是多少？

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $A(2,3)$， $B(4,3)$， $C(6,-5)$三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，抛物线上一点 $D$在线段 $\mathit{AC}$的上方， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，若满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{AE}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，求点 $D$的坐标；

（3）如图②， $F$为抛物线顶点，过 $A$作直线 $l\perp \mathit{AB}$，若点 $P$在直线 $l$上运动，点 $Q$在 $x$轴上运动，是否存在这样的点 $P$、 $Q$，使得以 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABF}$相似，若存在，求 $P$、 $Q$的坐标，并求此时 $\mathit{\Delta BPQ}$的面积；若不存在，请说明理由．

定义：点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部或边上的点（顶点除外），在 $\mathit{\Delta PAB}$， $\mathit{\Delta PBC}$， $\mathit{\Delta PCA}$中，若至少有一个三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，则称点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

例如：如图1，点 $P$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部， $\angle \mathit{PBC}=\angle A$， $\angle \mathit{BCP}=\angle \mathit{ABC}$，则 $\mathit{\Delta BCP}\backsim \mathit{\Delta ABC}$，故点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点 $M$是曲线 $y=\frac{3\sqrt{3}}{x}(x>0)$上的任意一点，点 $N$是 $x$轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点 $P$是 $\mathit{OM}$上一点， $\angle \mathit{ONP}=\angle M$，试说明点 $P$是 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点；当点 $M$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $3)$，点 $N$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $0)$时，求点 $P$的坐标；

（2）如图3，当点 $M$的坐标是 $(3,\sqrt{3})$，点 $N$的坐标是 $(2,0)$时，求 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点的坐标；

（3）是否存在点 $M$和点 $N$，使 $\mathit{\Delta MON}$无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$的坐标分别为 $(4,0)$， $(0,6)$，直线 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\tan \angle \mathit{OAD}=2$，抛物线 $M_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$过 $A$， $D$两点．

（1）求点 $D$的坐标和抛物线 $M_1$的表达式；

（2）点 $P$是抛物线 $M_1$对称轴上一动点，当 $\angle \mathit{CPA}=90°$时，求所有符合条件的点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $E(0,4)$，连接 $\mathit{AE}$，将抛物线 $M_1$的图象向下平移 $m(m>0)$个单位得到抛物线 $M_2$．

①设点 $D$平移后的对应点为点 $D\text{'}$，当点 $D\text{'}$恰好在直线 $\mathit{AE}$上时，求 $m$的值；

②当 $1⩽x⩽m(m>1)$时，若抛物线 $M_2$与直线 $\mathit{AE}$有两个交点，求 $m$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴正半轴于点 $B(4,0)$，与过 $A$点的直线相交于另一点 $D(3,\frac{5}{2})$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$在线段 $\mathit{OC}$上（不与点 $O$、 $C$重合），过 $P$作 $\mathit{PN}\perp x$轴，交直线 $\mathit{AD}$于 $M$，交抛物线于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$，求 $\mathit{\Delta PCM}$面积的最大值；

（3）若 $P$是 $x$轴正半轴上的一动点，设 $\mathit{OP}$的长为 $t$，是否存在 $t$，使以点 $M$、 $C$、 $D$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $B$、 $C$两点，点 $A$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$经过 $A$， $B$两点．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一点，过点 $M$作 $\mathit{MH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，作 $\mathit{MD}//y$轴交 $\mathit{BC}$于点 $D$，求 $\mathit{\Delta DMH}$周长的最大值．

有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象性质．

小明根据学习函数的经验，对函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$，当 $k>0$时的图象性质进行了探究．

下面是小明的探究过程：

（1）如图所示，设函数 $y=\frac{1}{k}x$与 $y=\frac{k}{x}$图象的交点为 $A$， $B$，已知 $A$点的坐标为 $(-k,-1)$，则 $B$点的坐标为　　；

（2）若点 $P$为第一象限内双曲线上不同于点 $B$的任意一点．

①设直线 $\mathit{PA}$交 $x$轴于点 $M$，直线 $\mathit{PB}$交 $x$轴于点 $N$．求证： $\mathit{PM}=\mathit{PN}$．

证明过程如下：设 $P(m,\frac{k}{m})$，直线 $\mathit{PA}$的解析式为 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$．

则 $\left\{\begin{array}{c}-\mathit{ka}+b=-1\\ \mathit{ma}+b=\frac{k}{m}\end{array}\right.$，

解得 $\left\{\begin{array}{c}a=\\ b=\end{array}\right.$　　

$\therefore$直线 $\mathit{PA}$的解析式为　　

请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明．

②当 $P$点坐标为 $(1$， $k\left)\right(k\ne 1)$时，判断 $\mathit{\Delta PAB}$的形状，并用 $k$表示出 $\mathit{\Delta PAB}$的面积．

如图，直线 $y=\mathit{kx}+b(k$、 $b$为常数）分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A(-4,0)$、 $B(0,3)$，抛物线 $y=-x^2+2x+1$与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+b$的函数解析式；

（2）若点 $P(x,y)$是抛物线 $y=-x^2+2x+1$上的任意一点，设点 $P$到直线 $\mathit{AB}$的距离为 $d$，求 $d$关于 $x$的函数解析式，并求 $d$取最小值时点 $P$的坐标；

（3）若点 $E$在抛物线 $y=-x^2+2x+1$的对称轴上移动，点 $F$在直线 $\mathit{AB}$上移动，求 $\mathit{CE}+\mathit{EF}$的最小值．

如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,3)$，直线 $\mathit{BE}$交 $y$轴正半轴于点 $E$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\angle \mathit{DBO}=\alpha$， $\angle \mathit{EBO}=\beta$，若 $\tan (\alpha -\beta )=1$，求点 $E$的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点 $M$从点 $C$出发以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度在直线 $\mathit{BC}$上移动（不考虑点 $M$与点 $C$、 $B$重合的情况），点 $N$为抛物线上一点，设点 $M$移动的时间为 $t$秒，在点 $M$移动的过程中，以 $E$、 $C$、 $M$、 $N$四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的 $t$值及点 $M$的个数；若不能，请说明理由．