初中数学解答题

如图，直线 $l:y=-3x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+a+4(a<0)$经过点 $B$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点 $M$是抛物线上的一个动点，并且点 $M$在第一象限内，连接 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BM}$，设点 $M$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta ABM}$的面积为 $S$，求 $S$与 $m$的函数表达式，并求出 $S$的最大值；

（3）在（2）的条件下，当 $S$取得最大值时，动点 $M$相应的位置记为点 $M\text{'}$．

①写出点 $M\text{'}$的坐标；

②将直线 $l$绕点 $A$按顺时针方向旋转得到直线 $l\text{'}$，当直线 $l\text{'}$与直线 $\mathit{AM}\text{'}$重合时停止旋转，在旋转过程中，直线 $l\text{'}$与线段 $\mathit{BM}\text{'}$交于点 $C$，设点 $B$、 $M\text{'}$到直线 $l\text{'}$的距离分别为 $d_1$、 $d_2$，当 $d_1+d_2$最大时，求直线 $l\text{'}$旋转的角度（即 $\angle \mathit{BAC}$的度数）．

如图，把函数 $y=x$的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数 $y=2x$的图象；也可以把函数 $y=x$的图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数 $y=2x$的图象．

类似地，我们可以认识其他函数．

（1）把函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上各点的纵坐标变为原来的　　倍，横坐标不变，得到函数 $y=\frac{6}{x}$的图象；也可以把函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上各点的横坐标变为原来的　　倍，纵坐标不变，得到函数 $y=\frac{6}{x}$的图象．

（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移 $\frac{1}{2}$个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．

（Ⅰ）函数 $y=x^2$的图象上所有的点经过④ $\to$② $\to$①，得到函数　　的图象；

（Ⅱ）为了得到函数 $y=-\frac{1}{4}{(x-1)}^2-2$的图象，可以把函数 $y=-x^2$的图象上所有的点　　．

$A$．① $\to$⑤ $\to$③ $B$．① $\to$⑥ $\to$③ $C$．① $\to$② $\to$⑥ $D$．① $\to$③ $\to$⑥

（3）函数 $y=\frac{1}{x}$的图象可以经过怎样的变化得到函数 $y=-\frac{2x+1}{2x+4}$的图象？（写出一种即可）

我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图， $\mathit{AO}$为入射光线，入射点为 $O$， $\mathit{ON}$为法线（过入射点 $O$且垂直于镜面的直线）， $\mathit{OB}$为反射光线，此时反射角 $\angle \mathit{BON}$等于入射角 $\angle \mathit{AON}$．

问题思考：

（1）如图1，一束光线从点 $A$处入射到平面镜上，反射后恰好过点 $B$，请在图中确定平面镜上的入射点 $P$，保留作图痕迹，并简要说明理由；

（2）如图2，两平面镜 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$相交于点 $O$，且 $\mathit{OM}\perp \mathit{ON}$，一束光线从点 $A$出发，经过平面镜反射后，恰好经过点 $B$．小昕说，光线可以只经过平面镜 $\mathit{OM}$反射后过点 $B$，也可以只经过平面镜 $\mathit{ON}$反射后过点 $B$．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由；

问题拓展：

（3）如图3，两平面镜 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$相交于点 $O$，且 $\angle \mathit{MON}=30°$，一束光线从点 $S$出发，且平行于平面镜 $\mathit{OM}$，第一次在点 $A$处反射，经过若干次反射后又回到了点 $S$，如果 $\mathit{SA}$和 $\mathit{AO}$的长均为 $1m$，求这束光线经过的路程；

（4）如图4，两平面镜 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$相交于点 $O$，且 $\angle \mathit{MON}=15°$，一束光线从点 $P$出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜 $\mathit{OM}$．设光线出发时与射线 $\mathit{PM}$的夹角为 $\theta (0°<\theta <180°)$，请直接写出满足条件的所有 $\theta$的度数（注 $:\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$足够长）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，抛物线经过点 $D(-2,-3)$和点 $E(3,2)$，点 $P$是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线 $\mathit{DE}$和抛物线的表达式；

（2）在 $y$轴上取点 $F(0,1)$，连接 $\mathit{PF}$， $\mathit{PB}$，当四边形 $\mathit{OBPF}$的面积是7时，求点 $P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点 $P$在抛物线对称轴的右侧时，直线 $\mathit{DE}$上存在两点 $M$， $N$（点 $M$在点 $N$的上方），且 $\mathit{MN}=2\sqrt{2}$，动点 $Q$从点 $P$出发，沿 $P\to M\to N\to A$的路线运动到终点 $A$，当点 $Q$的运动路程最短时，请直接写出此时点 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$和点 $C(0,4)$，交 $x$轴正半轴于点 $B$，连接 $\mathit{AC}$，点 $E$是线段 $\mathit{OB}$上一动点（不与点 $O$， $B$重合），以 $\mathit{OE}$为边在 $x$轴上方作正方形 $\mathit{OEFG}$，连接 $\mathit{FB}$，将线段 $\mathit{FB}$绕点 $F$逆时针旋转 $90°$，得到线段 $\mathit{FP}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}//y$轴， $\mathit{PH}$交抛物线于点 $H$，设点 $E(a,0)$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若 $\mathit{\Delta AOC}$与 $\mathit{\Delta FEB}$相似，求 $a$的值．

（3）当 $\mathit{PH}=2$时，求点 $P$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{3}{4}x+3$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于 $B$点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点，在第一象限的抛物线上取一点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴于点 $C$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta BDE}$和 $\mathit{\Delta ACE}$相似？若存在，请求出点 $D$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $F$是第一象限内抛物线上的动点（不与点 $D$重合），点 $G$是线段 $\mathit{AB}$上的动点．连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{FG}$，当四边形 $\mathit{DEGF}$是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 $G$的坐标．

如图，直线 $y=-x+4$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$， $C$两点，与 $x$轴另一交点为 $A$．点 $P$以每秒 $\sqrt{2}$个单位长度的速度在线段 $\mathit{BC}$上由点 $B$向点 $C$运动（点 $P$不与点 $B$和点 $C$重合），设运动时间为 $t$秒，过点 $P$作 $x$轴垂线交 $x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $M$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点 $P$作 $y$轴垂线交 $y$轴于点 $N$，连接 $\mathit{MN}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，当 $\frac{\mathit{MQ}}{\mathit{NQ}}=\frac{1}{2}$时，求 $t$的值；

（3）如图②，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，当 $\mathit{\Delta PDM}$是等腰三角形时，直接写出 $t$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$交 $x$轴于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求这个抛物线的函数表达式．

（2）点 $D$的坐标为 $(-1,0)$，点 $P$为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 $\mathit{ADCP}$面积的最大值．

（3）点 $M$为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 $N$，使 $\mathit{\Delta MNO}$为等腰直角三角形，且 $\angle \mathit{MNO}$为直角？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

把函数 $C_1:y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3a(a\ne 0)$的图象绕点 $P(m,0)$旋转 $180°$，得到新函数 $C_2$的图象，我们称 $C_2$是 $C_1$关于点 $P$的相关函数． $C_2$的图象的对称轴与 $x$轴交点坐标为 $(t,0)$．

（1）填空： $t$的值为　　（用含 $m$的代数式表示）

（2）若 $a=-1$，当 $\frac{1}{2}⩽x⩽t$时，函数 $C_1$的最大值为 $y_1$，最小值为 $y_2$，且 $y_1-y_2=1$，求 $C_2$的解析式；

（3）当 $m=0$时， $C_2$的图象与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的右侧）．与 $y$轴相交于点 $D$．把线段 $\mathit{AD}$原点 $O$逆时针旋转 $90°$，得到它的对应线段 $A\text{'}D\text{'}$，若线 $A\text{'}D\text{'}$与 $C_2$的图象有公共点，结合函数图象，求 $a$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=2x+6$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交点 $C$，抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$， $C$两点，与 $x$轴交于另一点 $B$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上有一动点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $F$，当 $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{BF}$时，求 $\sin \angle \mathit{EBA}$的值．

（3）点 $N$是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点 $E$位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点 $M$，使以 $M$， $N$， $E$， $B$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-\frac{2}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点，顶点为 $C$，对称轴交 $x$轴于点 $D$，点 $P$为抛物线对称轴 $\mathit{CD}$上的一动点（点 $P$不与 $C$， $D$重合）．过点 $C$作直线 $\mathit{PB}$的垂线交 $\mathit{PB}$于点 $E$，交 $x$轴于点 $F$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta PCF}$的面积为5时，求点 $P$的坐标；

（3）当 $\mathit{\Delta PCF}$为等腰三角形时，请直接写出点 $P$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+8(a\ne 0)$经过点 $A(-3,-7)$， $B(3,5)$，顶点为点 $E$，抛物线的对称轴与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$．

（1）求直线 $\mathit{AB}$的解析式和抛物线的解析式．

（2）在抛物线上 $A$， $E$两点之间的部分（不包含 $A$， $E$两点），是否存在点 $D$，使得 $S_{\mathit{\Delta DAC}}=2S_{\mathit{\Delta DCE}}$？若存在，求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点 $P$在抛物线上，点 $Q$在 $x$轴上，当以点 $A$， $E$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C_1:y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$经过点 $A(-2,1)$和点 $B(-1,-1)$，抛物线 $C_2:y=2x^2+x+1$，动直线 $x=t$与抛物线 $C_1$交于点 $N$，与抛物线 $C_2$交于点 $M$．

（1）求抛物线 $C_1$的表达式；

（2）直接用含 $t$的代数式表示线段 $\mathit{MN}$的长；

（3）当 $\mathit{\Delta AMN}$是以 $\mathit{MN}$为直角边的等腰直角三角形时，求 $t$的值；

（4）在（3）的条件下，设抛物线 $C_1$与 $y$轴交于点 $P$，点 $M$在 $y$轴右侧的抛物线 $C_2$上，连接 $\mathit{AM}$交 $y$轴于点 $K$，连接 $\mathit{KN}$，在平面内有一点 $Q$，连接 $\mathit{KQ}$和 $\mathit{QN}$，当 $\mathit{KQ}=1$且 $\angle \mathit{KNQ}=\angle \mathit{BNP}$时，请直接写出点 $Q$的坐标．

如图，已知 $A(-2,0)$， $B(4,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-1$过 $A$、 $B$两点，并与过 $A$点的直线 $y=-\frac{1}{2}x-1$交于点 $C$．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 $P$，使四边形 $\mathit{ACPO}$的周长最小？若存在，求出点 $P$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点 $M$为 $y$轴右侧抛物线上一点，过点 $M$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $N$．问：是否存在这样的点 $N$，使以点 $M$、 $N$、 $C$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，若存在，求出点 $N$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=x-3$与坐标轴交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B$，与直线 $y=x-3$交于点 $E(8,5)$，且与 $x$轴交于 $C$， $D$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上有一点 $M$，当 $\angle \mathit{MBE}=75°$时，求点 $M$的横坐标；

（3）点 $P$在抛物线上，在坐标平面内是否存在点 $Q$，使得以点 $P$， $Q$， $B$， $C$为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．