初中数学试题

负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．如果把收入 $5$元记作 $+5$元，那么支出 $5$元记作（　　）

A．

$﹣5$元

B．

$0$元

C．

$+5$元

D．

$+10$元

如图，在锐角△ABC中， $\angle A＝60°$，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

（1）如图1，若 $AB＞AC$，且 $BD＝CE$， $\angle BCD＝\angle CBE$，求 $\angle CFE$的度数；

（2）如图2，若 $AB＝AC$，且 $BD＝AE$，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）若 $AB＝AC$，且 $BD＝AE$，将 $△ABC$沿直线AB翻折至 $△ABC$所在平面内得到 $△ABP$，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将 $△PHK$沿直线HK翻折至 $△PHK$所在平面内得到 $△QHK$，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 $QK\perp PF$时，请直接写出 $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{BC}}$的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线AB交于点 $A（0,﹣4）$， $B（4,0）$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作 $x$轴的平行线交AB于点C，过点P作 $y$轴的平行线交 $x$轴于点D，求 $PC+PD$的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中 $PC+PD$取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与 $y$轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．

例如： $M＝2543$，∵ $3^2+4^2=25$，∴2543是“勾股和数”；

又如： $M＝4325$，∵ $5^2+2^2=29$， $29\ne 43$，∴4325不是“勾股和数”．

（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；

（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记 $G（M）=\frac{c+d}{9}$， $P（M）=\frac{\left|10\left(a-c\right)+\left(b-d\right)\right|}{3}$．当 $G（M）$， $P（M）$均是整数时，求出所有满足条件的M．

如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向， $AC＝200米$．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向， $BD＝100米$．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$）

在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．

（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；

（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．

已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b\left(k\ne 0\right)$的图象与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$的图象相交于点 $A\left(1,m\right)$， $B\left(n,﹣2\right)$．

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

（2）根据函数图象，直接写出不等式 $\mathit{kx}+b＞\frac{4}{x}$的解集；

（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．

公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用 $x$表示，共分为三个等级：合格 $80\le x＜85$，良好 $85\le x＜95$，优秀 $x\ge 95$），下面给出了部分信息：

10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．

10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94

抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表

型号	平均数	中位数	众数	方差	“优秀”等级所占百分比
A	90	89	a	26.6	40%
B	90	b	90	30	30%

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；

（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；

（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．

在△BAE和△EFB中，

∵EF⊥BC，

∴∠EFB＝90°．

又∠A＝90°，

∴　 　①

∵AD∥BC，

∴　 　②

又 　 　③

∴△BAE≌△EFB（AAS）．

同理可得 　 　④

∴ $S_{△\mathit{BCE}}=S_{△\mathit{EFB}}+S_{△\mathit{EFC}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{矩形}\mathit{ABFE}}+\frac{1}{2}{S}_{\mathit{矩形}\mathit{EFCD}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$．

计算：

（1） ${\left(x+2\right)}^2+x\left(x-4\right)$；

（2） $\left(\frac{a}{b}-1\right)÷\frac{a^2-b^2}{2b}$．

为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为 $5:6:7$，需香樟数量之比为 $4:3:9$，并且甲、乙两山需红枫数量之比为 $2:3$．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 　　．

如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若 $AB＝2$， $\angle BAD＝60°$，则图中阴影部分的面积为 　　．（结果不取近似值）

有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是 　　．

计算： $|-4|+{\left(3-\pi \right)}^0=$　 　．

在多项式 $x-y-z-m-n$中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如： $\left(x-y\right)-\left(z-m-n\right)=x-y-z+m+n$， $x-y-\left(z-m\right)-n=x-y-z+m-n$，…．

下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．

其中正确的个数是（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3