初中数学试题

设直角三角形的两条直角边长分别为 $a,b,$斜边长为 $c,$若 $a,b,c,$均为正数，且 $c=\frac{1}{3}\mathit{ab}-\left(a+b\right)$，求满足条件的直角三角形的个数.

设 $a,b,c,d$为正实数， $a<b,c〈d,\mathit{bc}〉\mathit{ad}$，有一个三角形的三边长分别为 $\sqrt{a^2+c^2},\sqrt{b^2+d^2},\sqrt{{(b-a)}^2+{(d-c)}^2}$，求此三角形的面积.

几何模型：

条件：如图①， $A,B$. 是直线 $l$同旁的两个定点

问题：在直线 $l$上确定一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小.

方法：作点 $A$关于直线 $l$的对称点 $A^{\text{'}}$，连接 $A^{\text{'}}B$交 $l$于点 $P$，则 $\mathit{PA}+\mathit{PB}=A^{\text{'}}B$的值最小（不必证明）.

模型应用：

（1）如图②，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $2$， $E$为 $\mathit{AB}$的中点， $P$是 $\mathit{AC}$上一动点.连接 $\mathit{BD}$，由正方形对称性可知， $B$与 $D$关于直线 $\mathit{AC}$对称.连接 $\mathit{ED}$交于 $\mathit{AC}$于 $P$，则 $\mathit{PB}+\mathit{PE}$的最小值是＿＿＿＿＿；

（2）如图③， $\angle \mathit{AOB}=45°,P$是 $\angle \mathit{AOB}$内一点， $\mathit{PO}=10,Q,R$分别是 $\mathit{OA},\mathit{OB}$上的动点，求 $△\mathit{PQR}$周长的最小值.

如图所示， $C$为线段 $\mathit{BD}$上一动点，分别过点 $B,D$作 $\mathit{AB}\perp \mathit{BD}$， $\mathit{ED}\perp \mathit{BD}$，连接 $\mathit{AC},\mathit{EC}$.已知 $\mathit{AB}=5,\mathit{DE}=1,\mathit{BD}=8$，设 $\mathit{CD}=x$.

（1）用含 $x$的代数式表示 $\mathit{AC}+\mathit{CE}$的长；

（2）请问点 $C$满足什么条件时， $\mathit{AC}+\mathit{CE}$的值最小?

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^2+4}+\sqrt{{(12-x)}^2+9}$的最小值.

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°,\mathit{AB}=\mathit{AC},E,F$分别是 $\mathit{BC}$上两点，若 $\angle \mathit{EAF}=45°$，试判断 $\mathit{BE},\mathit{CF},\mathit{EF}$之间的数量关系，并说明理由.

如图，设 $P$是凸四边形 $\mathit{ABCD}$内一点，过 $P$分别作 $\mathit{AB},\mathit{BC},\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$的垂线，垂足分别为 $E,F,G,H$.已知 $\mathit{AH}=3,\mathit{HD}=4,\mathit{DG}=1,\mathit{GC}=5,\mathit{CF}=6,\mathit{FB}=4$，且 $\mathit{BE}-\mathit{AE}=1$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的周长为＿＿＿＿＿.

图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若 $\mathit{AC}=6,\mathit{BC}=5$，将四个直角三角形中边长为 $6$的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是＿＿＿＿＿.

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle \mathit{BCD}=90°,\mathit{BC}=\mathit{CD},E$是 $\mathit{AD}$延长线上一点，若 $\mathit{DE}=\mathit{AB}=3,\mathit{CE}=4\sqrt{2}$，则 $\mathit{AD}$的长为＿＿＿＿＿.

如图， $P$是三角形 $\mathit{ABC}$内的一点，且 $\mathit{PA}=6,\mathit{PB}=8,\mathit{PC}=10.$若将 $△\mathit{PAC}$绕点 $A$逆时针旋转后，得到 $△P^{\text{'}}\mathit{AB}$，则点 $P$与 $P^{\text{'}}$之间的距离为＿＿＿＿＿， $\angle \mathit{APB}=$＿＿＿＿＿.

如图所示，在三角形纸片 $\mathit{ABC}$中， $\angle C=90°,\angle A=30°$， $\mathit{AC}=3$.折叠该纸片使点 $A$与点 $B$重合，折痕与 $\mathit{AB},\mathit{AC}$分别交于点 $D$和点 $E$，折痕 $\mathit{DE}$的长为＿＿＿＿＿.

小明家住在 $18$层的高楼上.一天，他与妈妈去买竹竿.如果电梯的长、宽、高分别是 $1.5\text{m},1.5\text{m},2.2\text{m}$，如图，那么，能放入电梯的竹竿的最大长度大约是＿＿＿＿＿ $m$.

四条线段的长分别为 $9,5,x,1$（其中 $x$为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$是其中的两条线段（如图），则 $x$可取值的个数为（ ）

A．

$2$个

B．

$3$个

C．

$4$个

D．

$6$个

如图，设 $△\mathit{ABC}$满足下面条件: $\mathit{AB}=\mathit{AC},D$是 $\mathit{AC}$上一点，且 $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$，而 $\mathit{AD},\mathit{CD}$长是整数且 $B{D}^2=57$.在所有这类三角形中最小的 $\mathit{AC}$的值是（ ）

A．

$9$

B．

$10$

C．

$11$

D．

$12$

如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 $A,B,C,D$的边长分别是 $3,5,2,3$，则最大正方形 $E$的面积是（ ）

A．

$13$

B．

$26$

C．

$47$

D．

$94$

某住宅小区有一块草坪如图所示，已知 $\mathit{AB}=3\text{m},\mathit{BC}=4\text{m},\mathit{CD}=12\text{m}$， $\mathit{DA}=13\text{m}$，且 $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$，则这块草坪的面积是（ ）

A．

$24{\text{m}}^2$

B．

$36{\text{m}}^2$

C．

$48{\text{m}}^2$

D．

$72{\text{m}}^2$