初中数学解直角三角形的应用试题

据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过 $15m/s$，在一条笔直公路 $\mathit{BD}$的上方 $A$处有一探测仪，如平面几何图， $\mathit{AD}=24m$， $\angle D=90°$，第一次探测到一辆轿车从 $B$点匀速向 $D$点行驶，测得 $\angle \mathit{ABD}=31°$，2秒后到达 $C$点，测得 $\angle \mathit{ACD}=50°(\tan 31°\approx 0.6$， $\tan 50°\approx 1.2$，结果精确到 $1m)$

（1）求 $B$， $C$的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面 $A$， $B$两处均探测出建筑物下方 $C$处有生命迹象，已知在 $A$处测得探测线与地面的夹角为 $30°$，在 $B$处测得探测线与地面的夹角为 $60°$，求该生命迹象 $C$处与地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

“ $C919$”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AM}//\mathit{BN}//\mathit{ED}$， $\mathit{AE}\perp \mathit{DE}$，请根据图中数据，求出线段 $\mathit{BE}$和 $\mathit{CD}$的长． $(\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75$，结果保留小数点后一位）

图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂 $\mathit{AC}=40\mathit{cm}$，灯罩 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，灯臂与底座构成的 $\angle \mathit{CAB}=60°$． $\mathit{CD}$可以绕点 $C$上下调节一定的角度．使用发现：当 $\mathit{CD}$与水平线所成的角为 $30°$时，台灯光线最佳．现测得点 $D$到桌面的距离为 $49.6\mathit{cm}$．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： $\sqrt{3}$取 $1.73)$．

某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：

问题提出：

如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

方案设计：

如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面 $\mathit{AC}$的遮阳蓬 $\mathit{CD}$．

数据收集：

通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 $\mathit{DA}$与遮阳蓬 $\mathit{CD}$的夹角 $\angle \mathit{ADC}$最大 $(\angle \mathit{ADC}=77.44°)$；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线 $\mathit{DB}$与遮阳蓬 $\mathit{CD}$的夹角 $\angle \mathit{BDC}$最小 $(\angle \mathit{BDC}=30.56°)$．窗户的高度 $\mathit{AB}=2m$．

问题解决：

根据上述方案及数据，求遮阳蓬 $\mathit{CD}$的长．

（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sin 30.56°\approx 0.51$， $\cos 30.56°\approx 0.86$， $\tan 30.56°\approx 0.59$， $\sin 77.44°\approx 0.98$， $\cos 77.44°\approx 0.22$， $\tan 77.44°\approx 4.49)$

如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安全，现要做一个不锈钢扶手 $\mathit{AB}$及两根与 $\mathit{FG}$垂直且长为1米的不锈钢架杆 $\mathit{AD}$和 $\mathit{BC}$（杆子的底端分别为 $D$、 $C)$，且 $\angle \mathit{DAB}=66.5°$．（参考数据： $\cos 66.5°\approx 0.40$， $\sin 66.5°\approx 0.92)$

（1）求点 $D$与点 $C$的高度差 $\mathit{DH}$；

（2）求所有不锈钢材料的总长度（即 $\mathit{AD}+\mathit{AB}+\mathit{BC}$的长，结果精确到0.1米）

如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示： $\mathit{sin}75°\approx 0.97，$ $\mathit{cos}75°\approx 0.26，\sqrt{3}\approx 1.73$．

芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3}\approx 1.732$）

如图，已知在Rt△ABC中， $\angle \mathit{ABC}＝90°$，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$于E， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$于F，则BE+CF的值（　　）

A．不变B．增大

C．减小D．先变大再变小

美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°．若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉．它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥．

小芸和小刚分别在桥面上的A，B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．已知AB＝20m，小芸在A处测得∠CAB＝36°，小刚在B处测得∠CBA＝43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

如图，旗杆高 AB＝8 m，某一时刻，旗杆影子长 BC＝16 m，则tan C＝ 　　．

两栋居民楼之间的距离 CD＝30 m，楼 AC和 BD均为10层，每层楼高为3 m．上午某时刻，太阳光线 GB与水平面的夹角为30°，此刻楼 BD的影子会遮挡到楼 AC的第几层？（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.7， $\sqrt{2}$ ≈1.4）

如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为 　　 m．

（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

王阿姨家的阳台上放置了一个晾衣架，完全稳固张开如图①．图②，③是晾衣架的侧面展开图，△ AOB是边长为130 cm的等边三角形，晾衣架 OE， OF能以 O为圆心转动，且 OE＝ OF＝130 cm：在 OA， OB上的点 C， D处分别有支撑杆 CN， DM能以 C， D为圆心转动．

（1）如图②，若 EF平行于地面 AB，王阿姨的衣服穿在衣架上的总长度是110 cm，垂挂在晾衣杆 OE上是否会拖到地面上？说明理由．

（2）如图③，当支撑杆 DM支到点 M′，此时∠ EOB＝78°，点 E离地面距离最大．保证衣服不拖到地面上，衣服穿在衣架上的总长度最长约为多少厘米？（结果取整）参考数据：（ $\sqrt{\text{3}}\approx \frac{\text{17}}{\text{10}}$ ，sin78°≈ $\frac{\text{49}}{\text{50}}$ ，cos78°≈ $\frac{\text{1}}{\text{5}}$ ，sin18°≈ $\frac{\text{3}}{\text{10}}$ ，cos18°≈ $\frac{\text{19}}{\text{20}}$ ）