初中数学解直角三角形的应用-方向角问题试题

南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至 $B$处时，测得该岛位于正北方向 $20(1+\sqrt{3})$海里的 $C$处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我 $A$处的渔监船前往 $C$处护航，已知 $C$位于 $A$处的北偏东 $45°$方向上， $A$位于 $B$的北偏西 $30°$的方向上，求 $A$、 $C$之间的距离．

超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路 $\mathit{MN}$上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点 $C$，现测得一辆小型车在监测点 $C$的南偏西 $30°$方向的 $A$处，7秒后，测得其在监测点 $C$的南偏东 $45°$方向的 $B$处，已知 $\mathit{BC}=200$米， $B$在 $A$的北偏东 $75°$方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

一艘货轮由西向东航行，在 $A$处测得灯塔 $P$在它的北偏东 $60°$方向，继续航行到达 $B$处，测得灯塔 $P$在它的东北方向，若灯塔 $P$正南方向4海里的 $C$处是港口，点 $A$， $B$， $C$在一条直线上，则这艘货轮由 $A$到 $B$航行的路程为　　海里（结果保留根号）．

如图，一艘海轮位于灯塔 $P$的北偏东 $60°$方向，距离灯塔 $86n$ $\mathit{mile}$的 $A$处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$的南偏东 $45°$方向上的 $B$处，此时， $B$处与灯塔 $P$的距离约为　　 $n$ $\mathit{mile}$．（结果取整数，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.7$， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

如图，建筑物 $C$在观测点 $A$的北偏东 $65°$方向上，从观测点 $A$出发向南偏东 $40°$方向走了 $130m$到达观测点 $B$，此时测得建筑物 $C$在观测点 $B$的北偏东 $20°$方向上，求观测点 $B$与建筑物 $C$之间的距离．（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图， $A$， $B$两市相距 $150\mathit{km}$，国家级风景区中心 $C$位于 $A$市北偏东 $60°$方向上，位于 $B$市北偏西 $45°$方向上．已知风景区是以点 $C$为圆心、 $50\mathit{km}$为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接 $A$， $B$两市的高速公路，高速公路 $\mathit{AB}$是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

一艘货轮以 $18\sqrt{2}\mathit{km}/h$ 的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至 $A$ 处时，发现它的东南方向有一灯塔 $B$ ，货轮继续向东航行30分钟后到达 $C$ 处，发现灯塔 $B$ 在它的南偏东 $15°$ 方向，则此时货轮与灯塔 $B$ 的距离是 　            　 $\mathit{km}$ ．

如图，在一笔直的沿湖道路 $l$上有 $A$、 $B$两个游船码头，观光岛屿 $C$在码头 $A$北偏东 $60°$的方向，在码头 $B$北偏西 $45°$的方向， $\mathit{AC}=4\mathit{km}$．游客小张准备从观光岛屿 $C$乘船沿 $\mathit{CA}$回到码头 $A$或沿 $\mathit{CB}$回到码头 $B$，设开往码头 $A$、 $B$的游船速度分别为 $v_1$、 $v_2$，若回到 $A$、 $B$所用时间相等，则 $\frac{v_1}{v_2}=$　     　（结果保留根号）．

如图，港口 $B$位于港口 $A$的南偏东 $37°$方向，灯塔 $C$恰好在 $\mathit{AB}$的中点处．一艘海轮位于港口 $A$的正南方向，港口 $B$的正西方向的 $D$处，它沿正北方向航行 $5\mathit{km}$到达 $E$处，测得灯塔 $C$在北偏东 $45°$方向上，这时， $E$处距离港口 $A$有多远？（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

如图，湿地景区岸边有三个观景台 $A$、 $B$、 $C$．已知 $\mathit{AB}=1400$米， $\mathit{AC}=1000$米， $B$点位于 $A$点的南偏西 $60.7°$方向， $C$点位于 $A$点的南偏东 $66.1°$方向．

（1）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）景区规划在线段 $\mathit{BC}$的中点 $D$处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 $\mathit{AD}$．试求 $A$、 $D$间的距离．（结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 53.2°\approx 0.80$， $\cos 53.2°\approx 0.60$， $\sin 60.7°\approx 0.87$， $\cos 60.7°\approx 0.49$， $\sin 66.1°\approx 0.91$， $\cos 66.1°\approx 0.41$， $\sqrt{2}\approx 1.414)$．

如图，大海中某灯塔 $P$周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 $A$处观察灯塔 $P$在北偏东 $60°$方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点 $B$处，这时观察灯塔 $P$恰好在北偏东 $45°$方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点 $A$处，如图所示，直线 $l$表示公路，一辆小汽车由公路上的 $B$处向 $C$处匀速行驶，用时5秒，经测量，点 $B$在点 $A$北偏东 $45°$方向上，点 $C$在点 $A$北偏东 $60°$方向上，这段公路最高限速60千米 $/$小时，此车　　（填“超速”或“没有超速” $)$（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，一艘船以 $40\mathit{nmile}/ℎ$的速度由西向东航行，航行到 $A$处时，测得灯塔 $P$在船的北偏东 $30°$方向上，继续航行 $2.5ℎ$，到达 $B$处，测得灯塔 $P$在船的北偏西 $60°$方向上，此时船到灯塔的距离为　　 $\mathit{nmile}$．（结果保留根号）

如图为某海域示意图，其中灯塔 $D$的正东方向有一岛屿 $C$．一艘快艇以每小时 $20\mathit{nmile}$的速度向正东方向航行，到达 $A$处时测得灯塔 $D$在东北方向上，继续航行 $0.3h$，到达 $B$处时测得灯塔 $D$在北偏东 $30°$方向上，同时测得岛屿 $C$恰好在 $B$处的东北方向上，此时快艇与岛屿 $C$的距离是多少？（结果精确到 $1\mathit{nmile}$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

如图为某海域示意图，其中灯塔 $D$的正东方向有一岛屿 $C$．一艘快艇以每小时 $20\mathit{nmile}$的速度向正东方向航行，到达 $A$处时测得灯塔 $D$在东北方向上，继续航行 $0.3h$，到达 $B$处时测得灯塔 $D$在北偏东 $30°$方向上，同时测得岛屿 $C$恰好在 $B$处的东北方向上，此时快艇与岛屿 $C$的距离是多少？（结果精确到 $1\mathit{nmile}$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$