高中数学空间向量的应用试题

（本小题8分）已知三棱锥A—BCD及其三视图如图所示．

（1）求三棱锥A—BCD的体积与点D到平面ABC的距离；
（2）求二面角 B-AC-D的正弦值．

（本小题8分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，
若F，E分别为PC,BD的中点，

求证：
（l）EF∥平面PAD；
（2）平面PDC⊥平面PAD

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求证：直线BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）已知M在线段PC上，且BM=DM=，CM=3，求二面角的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.

（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（2）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.

如图，在三棱柱中，侧棱底面，，
为的中点， 

（1）求证：平面；
（2）过点作于点，求证：直线平面
（3）若四棱锥的体积为3，求的长度

（本小题满分9分）
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.

（1）求四棱锥S-ABCD的体积.
（2）求证：面SAB⊥面SBC.
（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值.

（本小题满分9分）
如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点.

（1）求证AC⊥BC₁
（2）求证AC₁∥平面CDB₁

如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，⊥，⊥，，为中点．

(1) 求证：平面PDC平面PAD；
(2) 求证：BE∥平面PAD；
（3）求二面角的余弦值.

（本小题满分12分）
如图，是直角梯形，又，
，直线与直线所成的角为．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；

在四棱锥中，，，平面，为 的中点，．

(1)求四棱锥的体积；
(2)若为的中点，求证：平面平面；
(3)求二面角的大小．

（本题12分）如图所示,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.

（1）求证：面；
（2）求证：；

(本小题满分14分)
如图：四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF;
（Ⅲ）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°                  

（本小题满分16分）
如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁，A₁A的中点．

（1）求的长；
（2）求的值；
（3）求证：A₁B⊥C₁M．

如图5，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点是的中点．

（1）求证：//平面；
（2）若四面体的体积为，求的长．

如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点，
（1）求证：面；

（2）求证：面