高中数学空间向量的应用试题

如图多面体PQABCD由各棱长均为2的正四面体和正四棱锥拼接而成

(Ⅰ)证明PQ⊥BC；
(Ⅱ)若M为棱CQ上的点且,  
求的取值范围，使得二面角P-AD-M为钝二面角。

（本小题满分14分）
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，点是的中点．

⑴求证：平面；
⑵求证：平面平面；
⑶若，求三棱锥的体积．

（本小题满分14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到DA₁EF的位置，使二面角A₁－EF－B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（Ⅰ）求证：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小。

（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点．

（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，
，是线段上的点，是线段上的点，且

（Ⅰ）当时，证明平面；
（Ⅱ）是否存在实数，使异面直线与所成的角为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

（本小题共14分）
如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=，AP=，PC=.

（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求证BE⊥DP;
（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求该多面体的体积.

如图，四边形ABCD中，为正三角形，，，AC与BD交于O点．将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内．

（Ⅰ）求证：平面PBD；
（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.

（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知，M为A₁B与AB_１的交点，N为棱B₁C₁的中点

（１）  求证：MN∥平面AA_１C_１C
（２）  若AC＝AA₁，求证：MN⊥平面A₁BC

三棱锥中, 是的中点,

（I）求证：；
（II）若，且二面角为,求与面所成角的正弦值。

（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，.

（I）求证：平面平面；
（II）求二面角的余弦值．

（本小题满分12分）
已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是菱形，且， M是A₁B₁的中点，

（1）求证：平面ABC；
（2）求二面角A₁—BB1—C的余弦值。

（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面为矩形，.

（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

如图，四棱锥的底面是矩形，，且侧面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为45°.若存在，试求的值，若不存在，请说明理由.

如图分别是正三棱台ABC－A₁B₁C₁的直观图和正视图，O，O₁分别是上下底面的中心，E是BC中点．
（1）求正三棱台ABC－A₁B₁C₁的体积；
（2）求平面EA₁B₁与平面A₁B₁C₁的夹角的余弦；
（3）若P是棱A₁C₁上一点，求CP＋PB₁的最小值．

（本小题满分12分）
如图，是直角三角形，，交于点，平面，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．