高中数学第二数学归纳法试题

下表给出了一个“三角形数阵”：

依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是       

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．
（1）求，；
（2）若，求证：；
（3）当时，求证：存在，使得．

（本小题满分14分）已知数列的前n项和满足
，其中b是与n无关的常数，且
（1）求；
（2）求的关系式；
（3）猜想用表示的表达式（须化简），并证明之。

由下列各个不等式：

你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

已知，，．
（1）当时，试比较与的大小关系；
（2）猜想与的大小关系，并给出证明．

是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由.

在数列中，已知，，(，)．
（1）当，时，分别求的值，判断是否为定值，并给出证明；
（2）求出所有的正整数，使得为完全平方数．

【原创】
（1）观察下列各式;根据以上各式利用归纳推理得出一个一般性的结论；
（2）设根据的大小关系证明（1）的结论；

下面四个判断中，正确的是(　　)

A．式子1＋k＋k^2＋…＋k^n(n∈N^*)中，当n＝1时式子值为1

B．式子1＋k＋k^2＋…＋k^n^－1(n∈N^*)中，当n＝1时式子值为1＋k

C．式子1＋＋…＋(n∈N^*)中，当n＝1时式子值为1＋

D．设f(x)＝(n∈N^*)，则f(k＋1)＝f(k)＋

（本小题满分13分）已知数列中，，．
（Ⅰ）若，设，求证数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，，证明：．

设数列{a_n}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)^k－1k，…，(－1)，即当(k∈N^*)时，a_n＝(－1)^k－1k，记S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n(n∈N^*)，用数学归纳法证明S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N^*)．

设函数f(x)＝x－xlnx，数列{a_n}满足0＜a₁＜1，a_n＋1＝f(a_n)．求证：
(1)函数f(x)在区间(0，1)是增函数；
(2)a_n＜a_n＋1＜1.

已知f(n)＝1＋n∈N^)，g(n)＝2(－1)(n∈N^)．
(1)当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．

已知数列{a_n}满足a₁＝1，且4a_n＋1－a_na_n＋1＋2a_n＝9(n∈N^)．
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)由(1)猜想{a_n}的通项公式，并给出证明．

已知 ，数列满足：
。
（1）用数学归纳法证明：；
（2）已知；
（3）设T_n是数列{a_n}的前n项和，试判断T_n与n-3的大小，并说明理由。